Triangle rectangle et pentagone

Un triangle sphérique est dit rectangle si un de ses angles α, β, γ (ou \(\hat{A} , \hat{B} , \hat{C}\) ) est droit. (On ne parle pas ici des longueurs a,b, c).

Si un côté (a,b,c) fait 90°, alors le triangle est dit rectilatère (recti = droit ; latère = côté).

Si un triangle est rectangle, alors les 6 formes de la formule des 4 éléments consécutifs se simplifient. En effet:

• cotan(90°) = 0
• sin(90°) = 1
• cos(90°) = 0

Dans ce cas, on peut utiliser la méthode du pentagone.
En prenant cette configuration , nous avons 5 éléments (les 6 éléments moins l'angle droit) à disposé sur le pentagone en respectant la disposition présentée ci-contre (à noter les \(90-c\) et \(90-c\))

Le côté du bas représente l'hypoténuse du triangle rectangle.

Le cosinus d'un côté du pentagone est égal:

• au produit des sinus des côtès opposés
• au produit des cotan des côtés adjascents

\[\boxed { cos = sin(op) = cotan(adj)}\]

Pour rappel:

• sin(90-a) = cos a
• cos(90-a) = sin a
• cotan(90-a) = tan a

Ce qui nous donne alors:

• \(cos a = sin(90-c) . sin(90-b) = cosc . cos b\) et \(cos a = cotanB . cotanC\)
• \(cos B = sin(90-b) . sin(C) = cosb . sinC\) et \(cosB = cotan(90-c) . cotana = tanc . cotan a\)
• \(cos (90-c) = sinc =  sina . sin(C)\) / \(cos(90-c) = sinc = cotan(90-b) . cotanB = tanb . cotan B\)
• etc, etc ,etc