Formules de factorisation

 

Dispositions générales

Posons: \(\begin{cases}p=a+b \\ q=a-b\end{cases}\) ainsi en additionnant ces 2 équations puis en les soustrayant , nous obtenons: \(\begin{cases}  a=\frac{p+q}{2} \\ b=\frac{p-q}{2}  \end{cases}\)

 

cosp+cosq

Connaissances pour la démonstration:

  • Formules d'addition
    • \(cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb\)
    • \(cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb\)

En additionnant les 2 formules d'addition:

\(cos(a+b)+cos(a-b)=2.cosa.cosb\)

Remplaçons les \(a\) et les \(b\) par des \(p\) et des \(q\) comme vu dans les dispositions générale:
\(\begin{cases}  a+b=p \\ a-b=q \end{cases}\) et \(\begin{cases}  a=\frac{p+q}{2} \\ b=\frac{p-q}{2} \end{cases}\)

\[\boxed{cosp+cosq=2.cos(\frac{p+q}{2}).cos(\frac{p-q}{2})} \]

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cosp-cosq

Connaissances pour la démonstration:

  • Formules d'addition
    • \(cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb\)
    • \(cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb\)

En soustrayant les 2 formules d'addition:

\(cos(a+b)-cos(a-b)=-2.sina.sinb\)

Remplaçons les \(a\) et les \(b\) par des \(p\) et des \(q\) comme vu dans les dispositions générale:
\(\begin{cases}  a+b=p \\ a-b=q \end{cases}\) et \(\begin{cases}  a=\frac{p+q}{2} \\ b=\frac{p-q}{2} \end{cases}\)

\[\boxed{cosp-cosq=-2.sin(\frac{p+q}{2}).sin(\frac{p-q}{2})} \]

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sinp+sinq

Connaissances pour la démonstration:

  • Formules d'addition
    • \(sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb\)
    • \(sin(a-b)=sina.cosb-cosa.sinb\)

En additionnant les 2 formules d'addition:

\(sin(a+b)+sin(a-b)=2.sina.cosb\)

Remplaçons les \(a\) et les \(b\) par des \(p\) et des \(q\) comme vu dans les dispositions générale:
\(\begin{cases}  a+b=p \\ a-b=q \end{cases}\) et \(\begin{cases}  a=\frac{p+q}{2} \\ b=\frac{p-q}{2} \end{cases}\)

\[\boxed{sinp+sinq=2.sin(\frac{p+q}{2}).cos(\frac{p-q}{2})} \]

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sinp-sinq

Connaissances pour la démonstration:

  • Formules d'addition
    • \(sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb\)
    • \(sin(a-b)=sina.cosb-cosa.sinb\)

En soustrayant les 2 formules d'addition:

\(sin(a+b)-sin(a-b)=2.cosa.sinb\)

Remplaçons les \(a\) et les \(b\) par des \(p\) et des \(q\) comme vu dans les dispositions générale:
\(\begin{cases}  a+b=p \\ a-b=q \end{cases}\) et \(\begin{cases}  a=\frac{p+q}{2} \\ b=\frac{p-q}{2} \end{cases}\)

\[\boxed{sinp-sinq=2.cos(\frac{p+q}{2}).sin(\frac{p-q}{2})} \]

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résumé

\[\boxed{ cosp+cosq=2.cos(\frac{p+q}{2}).cos(\frac{p-q}{2}) \\ cosp-cosq=-2.sin(\frac{p+q}{2}).sin(\frac{p-q}{2}) \\   sinp+sinq=2.sin(\frac{p+q}{2}).cos(\frac{p-q}{2})  \\                           sinp-sinq=2.cos(\frac{p+q}{2}).sin(\frac{p-q}{2})                             }\]

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