Résoudre C=Acos(x) + Bsin(x)

\begin{align*}
C & = A.cosx+B.sinx \\
& = \sqrt{A²+B²}\bigg( \frac{A}{\sqrt{A²+B²}}.cosx+\frac{B}{\sqrt{A²+B²}}.sinx \bigg) & \Leftarrow \text{multiplier en haut et en bas par }\sqrt{A²+B²} \\
& = \rho.\bigg( \frac{A}{\rho}.cosx+\frac{B}{\rho}.sinx \bigg) & \Leftarrow \text{on pose }\rho=\sqrt{A²+B²} \\
& = \rho ( cos\phi.cosx + sin\phi.sinx ) & \Leftarrow \text{avec} \begin{cases} \frac{A}{\rho}=cos\phi \\ \frac{B}{\rho} =sin\phi \\ \text{et }\frac{A}{\rho}²+\frac{B}{\rho}²= sin²\phi+cos²\phi=1 \end{cases} \\
& = \rho.cos(\phi-x)
\end{align*}

\[\boxed{ A.cosx+B.sinx  =\rho.cos(\phi-x) \text{ avec  : } \\  \begin{cases}  \rho=\sqrt{A²+B²} \text{ ou } \rho²=A²+B² \\ cos\phi=\frac{A}{\rho} \end{cases} } \]

On veut comme résultat: \(C=A.cosx+B.sinx=R.sin(x+\phi)\)

Et en utilisant les formules d'addition:

\begin{align*} R.sin(x+\phi) & =  R.cosx.sin\phi+R.sinx.cos\phi  \\ & = (R.sin\phi).cosx+(Rcos\phi).sinx \\ & =A.cosx+B.sinx \end{align*}

Par identification: \(\begin{cases} A=R.sin\phi \\ B=R.cos\phi \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}tan\phi=A/B \\ A²+B²=R²(cos²\phi+sin²\phi)=R² \end{cases}\)

\[\boxed{  Acosx + Bsinx = Rsin(x+\phi) \\ \text{avec }\begin{cases} \sqrt{A²+B²}=R \\ tan\phi = A/B \end{cases}}\]

Exemple: mettre  \(cosx+sinx\) sous la forme \(R.sin(x+\phi)\)

\(A=1 \text{ et } B=1  \Rightarrow \begin{cases} R=\sqrt{2} \\ tan\phi=1 \Rightarrow \phi = \pi/4 \end{cases}\)

\(cosx+sinx=\sqrt{2}.sin(x+\pi/4)\)

On veut comme résultat: \(C=A.cosx+B.sinx=R.cos(x+\phi)\)

Et en utilisant les formules d'addition:

\(\begin{align*} R.cos(x+\phi) & =  R.cosx.cos\phi+R.sinx.sin\phi  \\ & = (R.cos\phi).cosx+(Rsin\phi).sinx \\ & =A.cosx+B.sinx \end{align*}\) 

Par identification: \(\begin{cases} A=R.cos\phi \\ B=R.sin\phi \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}tan\phi=B/A \\ A²+B²=R²(cos²\phi+sin²\phi)=R² \end{cases}\)

\[\boxed{  Acosx + Bsinx = Rcos(x+\phi) \\ \text{avec }\begin{cases} \sqrt{A²+B²}=R \\ tan\phi = B/A \end{cases}}\]

On notera la symétrie de \(tan\phi\) par rapport a la méthode 2.

Exemple: mettre  \(cosx+sinx\) sous la forme \(R.cos(x+\phi)\)

\(A=1 \text{ et } B=1  \Rightarrow \begin{cases} R=\sqrt{2} \\ tan\phi=1 \Rightarrow \phi = \pi/4 \end{cases}\)

\(cosx+sinx=\sqrt{2}.cos(x+\pi/4)\)