Intégration par Parties

Rappel sur la dérivation de \(\begin{align*} u(x).v(x)  \end{align*}\)

• \(u'\) et \(v\) sdoivent être de classe \(C^1\) sur le domaine d'intégration , et sur leurs  domaines de définition.
• Donc elles sont continues et leurs dérivées sont continues

\(\begin{align*} \frac{d}{dx}(u(x).v(x)) & = \frac{d}{dx}u(x).v(x) + u(x)\frac{d}{dx}(v(x)) \\
& = u'(x).v(x) + u(x).v'(x) \end{align*}\)

Conséquence:
\(\begin{align*} u'(x).v(x) =  \frac{d}{dx}u(x).v(x) - u(x).v'(x)  \end{align*}\)

Et en intégrant: :
\(\begin{align*} \int u'(x).v(x) & = \int \big( \frac{d}{dx}u(x).v(x)  - u(x).v'(x) \big)dx  \\
& = \int \big( \frac{d}{dx}u(x).v(x) \big)dx - \int u(x).v'(x) dx \\  
& = \bigg[ u(x).v(x) \bigg]  - \int u(x).v'(x) dx \end{align*}\)

\[ \boxed{\begin{align*} \int u'(x).v(x)  = \bigg[ u(x).v(x) \bigg]  - \int u(x).v'(x) dx \end{align*} }\]

Cette méthode est très utile pour intégrer un produit de fonctions dont l'une est facilement dérivable et l'autre facilement primitivable. Afin de nous aider à choisir dans certains cas moins évident, il existe le système ALPES: On dérive en priorité dans l'ordre suivant:

• Arc-tangente : si on connait la dérivée de cette fonction ( \(\begin{align*} \frac{1}{1+x²} \end{align*}\) ) , on ne connait pas sa primitive 
• Logarithme : si on connait la dérivée de cette fonction ( \(\begin{align*} \frac{1}{x} \end{align*}\) ) , sa primitive (\(x \ln x -x\)) contient toujours du \(\ln x\) et donc le problème ne peut être résolu.......
• Polynômes
• Exponentielle : cette fonction est facilement intégrable : et donne \(e^x\)
• Sinus : les fonctions trigonométriques classiques : cette fonction est facilement intégrable

Cependant, si la règle ALPES peut être utile, elle est parfois contre-productive. Dans une fonction avec un polynôme \(\times\) une autre fonction, l'IPP permettra de faire baisser le degré du polynôme. 

Exemple 1 : \(\begin{align*} I = \int x \sin x dx \end{align*}\)

Exemple 2 : \(\begin{align*} I = \int x² e^x dx \end{align*}\)

La fonction à intégrer est un produit de fonction. Un changement de variable serait vain (pas de forme de \(u\) et \(u'\).

De toute évidence , en faisant une IPP, le \(\sin\) se transformera en \(\cos\) facile à primitiver, et le polynôme \(x\) se transformera en \(1\): 

Posons:
\(\begin{align*} \begin{cases} u=x \\ v' = \sin x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u'=1 \\ v =- \cos x   \end{cases}\end{align*}\)

\(\begin{align*} I & = \int x \sin x dx  = \int uv'  \\ & = \bigg[ u.v\bigg] - \int u'v \\
& = \bigg[ x \times (-\cos x) \bigg] - \int 1 \times (-\cos x)dx \\
& = -x \cos x + \int \cos x dx  \end{align*}\)
\[\begin{align*} I =  -x \cos x + \sin x + C \end{align*}\]

Nous sommes encore dans le cas d'un produit de fonctions: l'une très facilement primitivable (\(e^x\)) et l'autre facilement dérivable \(x²\). En faisant une IPP, le degré de \(x²\) diminuera pour arriver à une constante.

Posons:
\(\begin{align*} \begin{cases} u=x² \\ v' = e^x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u'=2x \\ v =e^x    \end{cases}\end{align*}\)

 \(\begin{align*} I =\bigg[ x².e^x \bigg] -\int 2x. e^x dx \end{align*}\)

Recommençons le processus et posons :
\(\begin{align*} \begin{cases} u=2x \\ v' = e^x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u'=2 \\ v =e^x    \end{cases}\end{align*}\)

\(\begin{align*} I & =\bigg[ x².e^x \bigg] - \bigg(\bigg[ 2x.e^x \bigg] - \int 2. e^x dx \bigg) \\
& =  x².e^x -2x.e^x - 2.e^x +C  \end{align*}\)
\[\begin{align*} &I= e^x \big(x²-2x+2 \big) +C\end{align*}\]

Intégrations par parties multiples et successives:

Il arrive fréquemment d'avoir plusieurs intégrations par parties à faire pour arriver à la fin du calcul. L'exemple 2 en est l'illustration parfaire. Dans ce cas, je recommande la méthode dite "américaine" : D I method.
Il s'agit de dresser un tableau à 3 colonnes :

• une colonne de signes
• une colonne Dérivation que l'on complètera en dérivant successivement
• une colonne Intégration dans laquelle on primitivera successivement.

Le mieux est de reprendre l'exemple 2 : Exemple 2 : \(\begin{align*} I = \int x² e^x dx \end{align*}\)