Formules d'addition

 

cos(a+b) et sin(a+b)

Connaissances nécessaires à la démonstration:

  • Les nombres complexes:
    • forme trigonométrique: \(z= cos(a) + i.sin(a)\)
    • forme exponentielle: \(z=e^{ia}\)
    • Parties Réelle et Imaginaire: \(Im(z)\) et \(Re(z)\)
  • Formules des angles opposés: \(cos(-a)= cos(a)\) et \(sin(-a)=-sin(a)\)

 

Soient 2 nombres complexes \(z_1\) et \(z_2\), alors, ils peuvent s écrire tous les 2 sous les formes exponentielle et trigonométrique.

\(\begin{cases}
z_1= cos(a) + i.sin(a) = e^{ia} \\
z_2= cos(b) + i.sin(b) = e^{ib}

\end{cases}\)

Calculons \(z_1z_2\) avec ces 2 formes:

\(\begin{align*}
z_1z_2 & = e^{ia}.e^{ib} \\
& = e^{i(a+b)} \\
& = cos(a+b)+i.sin(a+b)
\end{align*}\)

\(\begin{align*}
z_1z_2 & =(cosa+i.sina)(cosb+i.sinb) \\
& = cosa.cosb+i.cosa.sinb+i.sina.cosb+i².sina.sinb \\
& = (cosa.cosb-sina.sinb)+i.(cosa.sinb+sina.cosb)
\end{align*}\)

Associons les parties réelles et imaginaire \(Re(z_1z_2) \text{ et }Im(z_1z_2)\) dans ces 2 formes

\(Re(z_1z_2)=cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb\)

\(Im(z_1z_2)=sin(a+b)=cosa.sinb+sina.cosb\)

\[\boxed{cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb \\ sin(a+b)=cosa.sinb+sina.cosb}\]

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tan(a+b)

Connaissances nécessaires à la démonstration:

  • Définition: \(tana=\frac{sina}{cosa}\)
  • Formules d'addition: \(cos(a+b)\) et \(sin(a+b)\)

\(\begin{align*}
tan(a+b) & = \frac{sin(a+b)}{cos(a+b) } \\ 
& = \frac{cosa.sinb+sina.cosb }{cosa.cosb - sina.sinb} && \text{ }\\ 
& = \frac{sinb+tana.cosb }{cosb - tana. sinb} && \text{en divisant en haut et en bas par }cosa \\
& = \frac{tanb+tana }{1 - tana. tanb} && \text{puis par }cosb \end{align*}\)

\[\boxed{tan(a+b)=\frac{tana+tanb }{1 - tana.tanb}}\]

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cos(a-b), sin(a-b), tan(a-b)

Connaissances nécessaires à la démonstration:

  • Formules d'addition: \(cos(a+b), sin(a+b), tan(a+b)\)
  • Angles opposés: \(cos(-a)=cosa\), \(sin(-a)=-sina\) et \(tan(-a)=-tana\)

Il suffit de remplacer b par (-b) dans les formules d'addition ci dessus. Il faut donc essentiellement connaitre les 2 premières formules d 'addition pour retrouver les 4 autres. 

\(\begin{align*}cos(a-b) & =cosa.cos(-b)-sina.sin(-b) \\ & =cosa.cosb+sina.sinb \end{align*}\)

 

\(\begin{align*}sin(a-b) & =cosa.sin(-b)+sina.cos(-b) \\ & =sina.cosb-cosa.sinb \end{align*}\)

 

\(\begin{align*}   tan(a-b)  & = \frac{tana+tan(-b)}{1 - tana.tan(-b)} \\
& =  \frac{tana-tanb}{1+tana.tanb} \end{align*}\)

 

\[\boxed{cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb \\ sin(a-b)=sina.cosb-cosa.sinb \\ tan(a-b)=\frac{tana-tanb }{1 + tana. tanb} }\]

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Résumé:

\[ sin(a+b) = sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a) \\ cos(a+b) = cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) \\ tan(a+b)=\frac{tan(a)+tan(b)}{1-tan(a) \times tan(b)}\] \[sin(a-b) = sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a) \\ cos(a-b) = cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) \\ tan(a-b)=\frac{tan(a)-tan(b) }{1 + tan(a) \times tan(b)}\]

On remarque qu'il suffit de connaitre les 3 formules de la colonne de gauche.
Pour connaitre (ou retrouver) celles de la colonne de droite, il suffit de remplacer \(+b\) par \(-b\) et de connaitre les formules des angles opposés:

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