Changement de variable trigonométrique

Méthode:

Dans ce cas, l'intégrante contient une racine carrée qui nous embête bien. On souhaite légitimement se défaire de cette racine. Un des moyens de le faire est de procéder à un changement de variable trigonométrique.

\(\begin{align*} I & = \int \sqrt{4-x²}dx && = \sqrt{2²-x²}dx \end{align*}\)

Changement de variable :
\(\begin{align*} x= 2 sint\end{align*}\)  avec \(-\pi/2 \leq t \leq +\pi/2\)
\(\begin{align*} dx = 2 cos t .dt \end{align*}\)

\(\begin{align*} I & = \sqrt{4-x²}dx && = \int \sqrt{4-(2sint)²} \times 2 cos t .dt \\
& = 2 \int  \sqrt{4-4sin²t}cost.dt && = 2 \int 2\sqrt{1-sin²t} cost.dt \\
& = 4\int \sqrt{cos²t}.cost dt && = 4 \int \lvert cos t \rvert cost dt \\
& = 4 \int  cos t \times cost dt &&  \text{ car } cost \geq 0 \text{ si } -\pi/2 \leq t \leq +\pi/2 \\
I & = 4 \int cos²t dt  \end{align*}\)

Présence d'une fonction circulaire en puissance paire , donc linéarisation de \(cos²t\)
\(\begin{align*} I & = 4 \int cos²t dt  && = 4 \int \frac{1}{2}(1+cos(2t))dt \\
& = 2 \int (1+cos(2t) ) dt && = 2[t-\frac{1}{2}sin(2t) ]  +C \\
& = 2[t - \frac{1}{2} \times 2sint.cost ] +C && = 2t + 2.sint.cost \end{align*}\)

Il nous faut maintenant remplacer \(t\) par sa valeur , fonction de \(x\) (faire un petit dessin peu grandement aider)
\(\begin{align*} x= 2 sint\end{align*}\)  avec \(-\pi/2 \leq t \leq +\pi/2\)
\(\begin{align*} \Rightarrow sint = \frac{x}{2} = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} &&  cost= \frac{\text{adjascent}}{\text{hypoténuse}}  = \sqrt{4-x²} \end{align*}\)

\(\begin{align*} I & = 2t + 2.sint.cost + C && = 2 sin^{-1}\big(\frac{x}{2} \big) + 2 \times \frac{x}{2} \times \frac{\sqrt{4-x²}}{2} + C \\
& = 2 sin^{-1}\big(\frac{x}{2} \big) + \frac{x(\sqrt{4-x²})}{2} + C\end{align*}\)