P(x) = ax²+bx+c, Delta= 0

\[\begin{align*}   I = \frac{1}{4x²-4x+1}dx \end{align*}\]

Soit \(P(x) = 4x²-4x+1\) , avec \(\boxed{\Delta = 0}\) (\(\Delta = (-4^22 - 4 \times 4 \times 1 = 0\)) , alors \(P(x)\) admet une seule racine double: \(x_0= -b/2a = 1/2\).
On peut écrire \(P(x) = 4 (x-1/2)^2\) et \( \begin{align*}  I = \frac{1}{4} \int \frac{1}{(x-1/2)^2 }dx \end{align*}\)

Changement de variable: \( \begin{align*} & u = x-1/2 && du = dx \end{align*}\)
\(\begin{align*} I & = \frac{1}{4}  \int \frac{1}{(x-1/2)^2}dx && = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^2}du \\
& = \frac{1}{4} \times \frac{-1}{u} +C && = -\frac{1}{4(x-1/2)}+C \\
& =  - \frac{1}{4x-2}+C\end{align*}\)

 

Généralisation: \[\begin{align*} &  I  = \int \frac{1}{ax²+bx+c}dx  \end{align*}\]

 

Forme canonique de \(P(x) = a[(x-\alpha)² + \beta]\)

 

Soit \(P(x)= ax^2 +bx+c\) avec \(a \neq 0\). Mettons \(P(x)\) sous la forme canonique: \(a \big[ \big( x+ \alpha)^2 + \beta \big) \big]\)

\(\begin{align*} P(x) & = ax^2 +bx +c = a   \big[  x^2+\frac{b}{a}x  + \frac{c}{a}   \big]  && = a   \big[  \big(x+\frac{b}{2a}\big)^2 - \big( \frac{b}{2a} \big)^2  + \frac{c}{a}   \big] \\
& = a  \big[  \big(x+\frac{b}{2a}\big)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{4ac}{4a^2}  \big]  && = a  \big[  \big(x+\frac{b}{2a}\big)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a^2}  \big]  \end{align*}\)

 

\[ \boxed{\begin{align*} P(x)=a  \bigg[  \big(x+\frac{b}{2a}\big)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}  \bigg] \\ \text{avec  } \Delta = b^2-4ac \end{align*} }\]

 

Si \(\Delta = 0\)

\( \begin{align*} P(x) & =a  \bigg[  \bigg(x+\frac{b}{2a}\bigg)^2 \bigg] && =  a   \bigg(x-\frac{-b}{2a}\bigg)^2  
&& = a   \bigg(x-x_0 \bigg)^2 \end{align*} \) 
\(P(x)\) a une racine double : \(\begin{align*}x_0 = \frac{-b}{2a} \end{align*}\) et \(P(x) = a(x-x_0)^2\)

 \[ \begin{align*}I = \int \frac{1}{a(x-x_0)^2}dx \end{align*}\]

Changement de variable:
\(\begin{align*} & u = x -x_0 && du = dx  \end{align*}\)
\(\begin{align*}  I & = \int \frac{1}{a u^2}du  && = \frac{1}{a}\int u^{-2}du && =\frac{1}{a} \times \bigg[ \frac{-1}{u} \bigg] + C \\
&  = \frac{-1}{au} + C && =\frac{-1}{a(x-x_0)} + C  && =\frac{-1}{a(x+\frac{b}{2a})} + C \end{align*}\)

Si \(\Delta = 0\)

\[ \boxed{ \begin{align*} \int \frac{1}{a(x-x_0)^2}dx  = - \frac{1}{ax+\frac{b}{2}} +C \end{align*} }\]

 

 

Exemple: \( \begin{align*} I = \int \frac{1}{2x²+4x+2}dx  = - \frac{1}{2x+2}  \end{align*} \)

\( \begin{align*}  I & = \int \frac{1}{2x²+4x+2}dx  =  \int \frac{1}{2(x²+2x+1)}dx \\
& = \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x+1)^2}dx  \end{align*} \)
Soit on fait le changement de variable \( u = x+1\),, et on arrive au résultat , soit on est assez fort pour voir que \( \begin{align*}\int \frac{1}{(x+1)^2}dx = -\frac{1}{x+1} \end{align*}\)