Primitives

Pour toute cette partie, \(I\) est un intervalle d'intérieur non vide. Les fonctions considérées sont à valeurs dans \(\mathbb K\). (\(\mathbb K\) est l'ensemble des réels \(\mathbb R\) ou des complexes \(\mathbb C\))

1- Généralités

Définition:

Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\).

On appelle primitive de \(f\) sur l'intervalle \(I\), une fonction \(F\) dérivable sur \(I\) telle que \(\forall \space \in I, F'(x)=f(x) \)

Par exemple de \(F(x) = x²\) est une primitive de de \(f(x)= 2x\). En effet, \(F'(x) = (x²)'=2x = f(x)\)

Remarque:
Si \(f\) est à valeurs dans \(\mathbb C\), alors on peut écrire:

  •  \(f=f_1+if_2\) avec \(f_1= \Re (f)\) et \(f_2 = \Im(f)\), et
  • \(F = F_1+iF_2\) avec \(F_1'=f_1\) et \(F_2'=f_2\)
 

Propriété:

Si une fonction \(f\) dérivable sur \(I\) vérifie \(f(x) =0\) pour tout \(x ∈ \mathbb K\) alors \(F\) est une fonction constante sur \(I\)

En effet, si \(\forall x \in \mathbb R, F(x) = C\), alors \(F'(x)=0=f(x)\) 

 

Théorème:
Toute fonction continue sur un intervalle \(I\) admet des primitives
 

 

Propriétés:

Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) alors toute primitive de \(f\) sur \(I\) est de la forme \(G=F+k\) avec \(k \in \mathbb K\)

Et \(\forall \space x_0 \in I, y_0 \in \mathbb K\) alors il existe une unique fonction \(F_0\) de \(f\) telle que \(F_0(x_0) = y_0\)

 

Par exemple: 

  • Donnez l'ensemble des primmitives de \(f(x) = 2x\):
    \(f(x)\) est définie et continue sur \(\mathbb R\), et la fonction \(F(x)=x²+C\) avec \(C \in \mathbb R\) est une primitive de \(f(x)\) car \(F'(x) = 2x \space \forall \space x \in \mathbb R\)

  • En déduire la primitive de \(f(x)\) qui prend la valeur \(5\) pour \(x=1\)
    \(F(1) = 5 \Rightarrow 1²+C=5 \Rightarrow C=4\)
    \(F(x) = x²+ 4\) est la primitive de \(f(x)=2x\) qui prend la valeur \(5\) pour \(x=1\)

Remarque: Pour déterminer toutes les primitives d'une fonction, il suffit d'en trouver une. Toutes les autres s 'en déduisent à une constante près.

 

Proposition:
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions admettant des primitives \(F\) et \(G\) sur un intervalle \(I\).
Alors pour tout couple (\(\lambda; \mu) \in \mathbb K²\) la fonction \(\lambda F + \mu G\) est une primitive sur \(I\) de la fonction \(\lambda f + \mu g\)

 

 

Remarque importante :

De nombreux calculs de primitives se font en reconnaissant la dérivée d'une fonction composée. Par exemple:
\(\begin{align*} \begin{cases}  & \mathbb R & \to & \mathbb K \\
& x & \mapsto & f(ax+b)  \end{cases} \end{align*}\)      a pour primitive (avec \(a \neq 0\))    \(\begin{align*} \begin{cases}  & \mathbb R & \to & \mathbb K \\
& x & \mapsto & \frac{1}{a}F(ax+b)  \end{cases} \end{align*}\)
On comprend alors l'importance de bien connaître les dérivées des fonctions usuelles et le tableau des primitives usuelles

 

2 - Existence de primitive

Le théorème suivant permet :

  • d'assurer l'existence de primitives pour une fonction continue sur un intervalle
  • de calculer une intégrale à l'aide d'une primitive
  • de ramener la recherche de primitives à un calcul d'intégrale.

Ce théorème est connu sous le nom de Théorème fondamental de l'analyse
On peut généraliser la notion d 'intégrale aux fonctions à valeurs dans \(\mathbb C\). Si \(f\) est une fonction continue sur un intervalle \(I\) et a valeurs dans \(\mathbb C\) , et si \((a;b) \in \mathbb C²\), alors l'intégrale de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est définie par:

\[ \begin{align*} \int_a^b f(t)dt = \int_a^b (\Re f(t)) dt + \int_a^b (\Im f(t))dt \end{align*}\] 

 

Théorème:

Soit \(f\) une fonction continue sur \(I\) et \(a \in I\). Alors la fonction

\(\begin{align*}  F : \space  & I & \to \space \space\space\space\space & \mathbb K \\ & x & \mapsto \space \space\space\space \space & \int_a^x f(t)dt  \end{align*}\)

est dérivable sur \(I\) et a pour dérivée la fonction \(f\)

Plus précisément, \(F\) est l'unique primitive de \(f\) sur \(I\) s'annulant en \(a\)

 

Proposition:

Soit \(f\) une fonction continue sur \(I\) et \(F\) une primitive de \(f\) sur \(I\). Alors:

\[\forall \space (a;b) \in I² , \space \int_a^b f(t)dt = F(b)-F(a) = \big[F\big]_a^b = \big[F(t)\big]_a^b\]

 

Remarque: Soit \(f\) une fonction continue sur \(I\) et \(a \in I\). Les primitives de \(f\) sur \(I\) sont donc les fonctions
\(x \mapsto \int_a^x f(t)dt +C\) avec \(C \in \mathbb K\)  


  

 

 

 

 

Primitives usuelles vues en classe de Terminale

Soient:

  • \(C \in \mathbb R\)
  • \(n \in \mathbb N\)
  • \(a,b \in \mathbb R²\) avec \(a \neq 0\)
la fonction ... admet pour primitive ...  sur l'interval ... remarque
\(1\) \(x+C\) \(\mathbb R\)  
\(x^n\) \( \begin{align*}\frac{1}{n+1} \times x^{n+1} +C \end{align*}\) \(\mathbb R\) - augmenter l'exposant (\( \Rightarrow n+1\)) 
- puis diviser par le nouvel exposant (\(n+1\))
\( \begin{align*}\frac{1}{x^n} = x^{-n}\space , n \neq 1 \end{align*}\) \( \begin{align*}= \frac{1}{-n+1} \times x^{-n+1}= \frac{1}{-(n-1)\times x^{n-1}} + C \end{align*}\) \(\mathbb R^*\) - on applique la méthode ci-dessus
\( \begin{align*}\frac{1}{x} \end{align*}\) \( \begin{align*} ln \lvert x \rvert +C \end{align*}\) \(\mathbb R^{*}\)  
\( \begin{align*}\frac{1}{\sqrt x} = x^{-\frac{1}{2}} \end{align*}\) \( \begin{align*}\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1/2}+C= 2 \sqrt x+C \end{align*}\) \(\mathbb R^{+*}\) - on peut appliquer la méthode ci-dessus
\( \begin{align*}e^{ax+b} \end{align*}\) \( \begin{align*} \frac{1}{a} e^{ax+b}+C \end{align*}\) \(\mathbb R\)

- fonction composée :

\(\big[ f(g(x) \big]' = f'(g(x)) \times g'(x)\)
\( \begin{align*}cos(ax+b) \end{align*}\) \( \begin{align*}\frac{1}{a} sin(ax+b)+C \end{align*}\) \(\mathbb R\) - fonction composée
\( \begin{align*}sin(ax+b) \end{align*}\) \( \begin{align*}- \frac{1}{a} cos(ax+b)+C \end{align*}\) \(\mathbb R\) - fonction composée
\( \begin{align*}\frac{lnx}{x} \end{align*}\) \( \begin{align*}\frac{(ln x)²}{2} +C \end{align*}\) \(\mathbb R^{+*}\) - fonction composée 
\( \begin{align*}\frac{1}{x\times lnx} \end{align*}\) \( \begin{align*}ln \lvert lnx \rvert  + C\end{align*}\) \(\mathbb R^{+*}\) - fonction composée