Définitions

  1. Schéma de situation et définition de sinx, cosx et tanx
  2. Expression de tanx en fonction de sinx et cosx (application du Théorème de Thalès)
  3. Moyen mnémotechnique SOHCAHTOA ou CAHSOHTOA
  4. Définition de cotanx, cscx, secx
  5. Formules d'Euler

 

Schéma de situation et visualisation

Soit un cercle de rayon r = 1 (OA=OB=1)  autrement appelé Cercle Unité ou Cercle Trigonométrique, et B un point situé sur ce cercle (OB=1).
Vous pouvez cliquer sur l'image pour ouvrir une fenêtre et bouger le point B pour voir ce qui se passe.

On définit:

  • \(cos\alpha\): projection orthogonale du segment OB sur l'axe des abscisses: soit OH
  • \(sin\alpha\): projection orthogonale du segment OB sur l'axe des ordonnées: soit OI
  • \(tan\alpha\): projection de B depuis O sur la droite tangente au cercle unité en A: soit AT

Ce qui donne les définitions mathématiques suivantes avec OA=OB=1:

\[\boxed{cos\alpha=OH = \frac{OH}{OB} \space \space ; \space \space     sin\alpha=OI= \frac{OI}{OB} = \frac{HB}{OB}  \space \space ; \space \space  tan\alpha = \frac{AT}{OA}}\]

Haut de la page

 

 

Expression de \(tan\alpha\) en fonction de \(sin\alpha\) et \(cos\alpha\)

  • Le triangle (OAT) est rectangle en A
  • Le triangle (OHB) est rectangle en H
  • Donc dans le triangle (OAT) les droite HB et AT sont parallèles

En appliquant le Théorème de Thalès , nous pouvons écrire :

\[\boxed{tan\alpha=\frac{AT}{OA}=\frac{HB}{OH}=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}}\]

Haut de la page

 

 

Moyen mnémotechnique

On pourrait aussi définir ces fonctions trigonométriques par les côtés des triangles rectangles:

  • Sin = cote Opposé (à l'angle) sur Hypothènue
  • Cos = côté Adjascent (à l'angle) sur Hypothénuse
  • Tan = côté Opposé (à l'angle) sur côté Adjascent (à l'angle)

Il vient tout naturellement le moyen mnémotechnique suivant : SOH-CAH-TOA
Ou encore pour les loubards : CAH SOH TOA ( casse toi !!!!!!!!)

\[\boxed{\text{SOH-CAH-TOA} \\ \text{CAH-SOH-TOA}}\]

Haut de la page

 

Définition de \(cotan\alpha\), \(sec\alpha\), et \(csc\alpha\)

Ces fonctions sont utilisées surtout par les anglosaxons. Pour autant, en connaissant les dérivées et primitives de ces fonctions trigonométriques, certains problèmes peuvent devenir plus faciles.

\[\boxed{\text{cotangente: } cotan(\alpha)=\frac{1}{tan\alpha} \\ \text{secante: } sec(\alpha)=\frac{1}{cos\alpha} \\ \text{cosecante: }  csc(\alpha)= \frac{1}{sin\alpha}}\]

Haut de la page

 

Formules d'Euler

\(\begin{cases}e^{ix}=cosx+i.sinx  \\ e^{-ix}=cosx-i.sinx \end{cases} \)

En additionnant les 2 expressions: \(e^{ix}+e^{-ix}= 2 cosx \Leftrightarrow cosx=\frac{e^x+ e^{-x}}{2}\)

En soustrayant les 2 expressions: \(e^{ix}-e^{-ix}= 2.i.sinx \Leftrightarrow sinx=\frac{e^x- e^{-x}}{2.i}\) 

 

\[\boxed{\begin{align*}cosx=\frac{e^x+ e^{-x}}{2} && sinx=\frac{e^x- e^{-x}}{2.i} \end{align*}}\]

Haut de la page