Formules de l'angle moitié: t=tan(x/2)

Ces formules de l'angle moitié sont souvent trés utiles losqu'on calcule des intégrales comportant des fonctions trigonométriques. En effet , dans certains cas, on est amené à procéder au changement de variable:\(t=tan(\frac{x}{2})\)  C 'est la raison pour laquelle iront jusqu'au calcul de \(dx\).

 

Préliminaires

On pose \(t=tan\frac{x}{2}\)

Il est donc possible de dessiner un triangle rectangle tel que : \(tan\frac{x}{2}=t=\frac{t}{1}\)

\(CAH-SOH-TOA \Rightarrow \begin{cases} \text{angle:}(x/2) \\ \text{côté opposé =}t \\  \text{côté adjascent =}1 \end{cases}\)

Calcul de l'hypoténuse L : \(L²=1²+t² \Rightarrow L=\sqrt{1+t²}\)

\(\Rightarrow \begin{cases}  tan(\frac{x}{2}) = \frac{t}{1}  \\  cos(\frac{x}{2}) = \frac{1}{\sqrt{1+t²}}  \\  sin(\frac{x}{2}) = \frac{t}{\sqrt{1+t²}} \end{cases}\)

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sinx en fonction de t = tan(x/2)

Connaissance pour la démonstration:

  • Définition: SOHCAHTOA et sinus
  • Formule d'addition \(sin(a+b)= cosa.sinb+sinb.cosa\)

\(\begin{align*} sinx & =sin(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}) \\
& = cos(\frac{x}{2}).sin(\frac{x}{2})+sin(\frac{x}{2}).cos(\frac{x}{2})  \\
& = 2.cos(\frac{x}{2}).sin(\frac{x}{2}) \\
& = 2.\frac{1}{\sqrt{1+t²}}.\frac{t}{\sqrt{1+t²}} 
 \end{align*}\)
\[\boxed{sinx =\frac{2t}{1+t²} }\]

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cosx en fonction de t=tan(x/2)

Connaissance pour la démonstration:

  • Définition: SOHCAHTOA et sinus
  • Formule d'addition \(cos(a+b)= cosa.cosb-sinb.sina\)

\(\begin{align*}cosx & =cos(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}) \\
& =cos²(\frac{x}{2})-sin²(\frac{x}{2})  \\
& =(\frac{1}{\sqrt{1+t²}})²-(\frac{t}{\sqrt{1+t²}})²  \\
\end{align*}\)
\[\boxed{cosx=\frac{1-t²}{1+t²}}\]

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tanx en fonction de t=tan(x/2)

Connaissance pour la démonstration:

  • Définition: SOHCAHTOA et tan

\(\begin{align*}  \\
tanx & =\frac{sinx}{cosx}  \\
& =\frac{2t}{1+t²} \times \frac{1+t²}{1-t²} \\
\end{align*}\)

\[\boxed{tanx=\frac{2t}{1-t²}}   \]

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\(dx\) en fonction de t=tan(x/2)

\(t= tan(x/2) \Longrightarrow x=2.arctan(t)\)

avec \(\big( arctan(t) \big )' = \frac{1}{1+t²} \Rightarrow dx=2.\frac{1}{1+t^2}.dt\)

\[\Longrightarrow \boxed{ dx=\frac{2}{1+t²}.dt}\]

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résumé

 \[\boxed{\text{Si on pose } t= tan(x/2) \text{, alors: }\\ \begin{align*} sinx=\frac{2t}{1+t^2} && cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2} && tanx = \frac{2t}{1-t^2} && dx=\frac{2}{1+t²}.dt \end{align*}}\]

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