Ces formules de l'angle moitié sont souvent trés utiles lorsqu'on calcule des intégrales comportant des fonctions trigonométriques. En effet , dans certains cas, on est amené à procéder au changement de variable: \(t=tan(\frac{x}{2})\) C 'est la raison pour laquelle nous irons jusqu'au calcul de \(dx\).
- Préliminaires
- sinx en fonction de t
- cosx en fonction de t
- tanx en fonction de t
- dx en fonction de t
- Résumé
1 - Préliminaires
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Il est donc possible de dessiner un triangle rectangle tel que : \(tan\frac{x}{2}=t=\frac{t}{1}\) \(CAH-SOH-TOA \Rightarrow \begin{cases} \text{angle:}(x/2) \\ \text{côté opposé =}t \\ \text{côté adjascent =}1 \end{cases}\) Calcul de l'hypoténuse L : \(L²=1²+t² \Rightarrow L=\sqrt{1+t²}\) \(\Rightarrow \begin{cases} tan(\frac{x}{2}) = \frac{t}{1} \\ cos(\frac{x}{2}) = \frac{1}{\sqrt{1+t²}} \\ sin(\frac{x}{2}) = \frac{t}{\sqrt{1+t²}} \end{cases}\) |
On pose \(t=tan\frac{x}{2}\)
2 - sinx en fonction de t = tan(x/2)
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Connaissance pour la démonstration:
\(\begin{align*} sinx & =sin(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}) \\ |
3 - cosx en fonction de t=tan(x/2)
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Connaissance pour la démonstration:
\(\begin{align*}cosx & =cos(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}) \\ |
4 - tanx en fonction de t=tan(x/2)
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Connaissance pour la démonstration:
\(\begin{align*} \\ \[\boxed{tanx=\frac{2t}{1-t²}} \] |
5 - \(dx\) en fonction de t=tan(x/2)
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\(t= tan(x/2) \Longrightarrow x=2.arctan(t)\) avec \(\big( arctan(t) \big )' = \frac{1}{1+t²} \Rightarrow dx=2.\frac{1}{1+t^2}.dt\) \[\Longrightarrow \boxed{ dx=\frac{2}{1+t²}.dt}\] |
6 - Résumé
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\[\boxed{\text{Si on pose } t= tan(x/2) \text{, alors: } \\ sinx=\frac{2t}{1+t^2} \dots cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2} \dots tanx = \frac{2t}{1-t^2} \\ dx=\frac{2}{1+t²}.dt }\] |