Méthodes de calcul

Afin de trouver des primitives ou de calculer des intégrales, il y a un socle de connaissances à avoir. 
Dans les exercices proposés, les compétences et connaissances sont présentées de façon éparse.

Ainsi, on peut ne considérer qu'une partie de l'exercice en fonction de la compétence à travailler.

Voici la liste des connaissances:

1. Les dérivée et notamment la dérivée d'une fonction composée (chain rule)
2. Les primitives des fonctions usuelles
3. la technique du changement de variable
4. connaitre quelques grands standards
5. Intégration par partie
6. Bien connaitre les formules de trigonoméyrie
7. savoir faire un changement de variable trigonométrique
8. Maitriser la division des polynômes et la décomposition en éléments simples
9. connaitre les régles de Bioche 

Je vous propose ici une méthode pour savoir comment faire, ainsi que quelques exemple:

• Intégrale de fonctions composées:
  • vérifier si en identifiant une fonction \(u\) , sa dérivée \(u'\) (à des coefficient prés) n 'est pas aussi présente dans l intégrale à calculer. 
  • Dans ce cas,
    • réécrire la fonction à primitiver pour se rapprocher la forme de dérivée de fonction composée connue
    • essayer par un changement de variable et faire apparaître les constantes manquantes
• Changement de variable trigonométrique
  • si présence de \(\sqrt{1-x²}\), alors \(u = cosx\) ou \(u = sinx\) puis identité trigo pour retirer la racine
  • si présence de \(\sqrt{1+x²}\), alors \(u=tan x \) car\( \sqrt{1+x²}=secx\)
• Fraction rationnelle
  • division euclidienne 
  • décomposition en éléments simples
• Fraction rationnelle trigonométrique
  • règle de Bioche
  • et décomposition en éléments simple
• si on peut primitiver / dériver facilement les 2 fonctions d'un  produit de fonctions
  • Intégration par parties
  • On peut aussi tenter de dire \(f(x) = 1 \times f(x)\) puis faire une IPP : exemple pour intégrer \(lnx\) ou \(arctan x\) 
• sommes de radicaux
  • multiplier par le conjugué
• Toutes combinaisons des méthodes ci dessus
• Si rien de tout cela n'est possible dans une fonction composée, essayer le changement de variable \(u =f(x)\)

\(\begin {align*} I  & = \int x².tan(x^3).dx \end {align*}\)

Dans ce cas, nous avons un terme en \(x^3\) dont la dérivée nous donnera un terme en \(x²\). Un changement de variable semble indiqué.

\(\begin{align*} & \begin{cases}  u =x^3 \\ du = 3x².dx \Rightarrow x².dx=du/3   \end{cases} \\ \\
I  & = \frac{1}{3} \int tan(u).du \end{align*}\)

Pour mémoire  \( \int tanu.du = ln \lvert sec (u) \rvert +C\)

Pour le démontrer, on cherche une identité numérique (\( \begin{align*} & tan u = \frac{sin u}{cos u} \end{align*}\)) et on fait à nouveau un changement de variable: \(v = cos (u)\) .....
Je vous laisse faire les calculs ......

\(\begin{align*} I & = \int \frac{1}{(1+x^2)^{5/2}}dx \end{align*}\)

Nous avons ici une forme en \(1+x²\) alors on peut utiliser

•  un changement de variable trigonométrique:
  • \(x= tan \theta\) 
• des identités trigonométriques
  • \(1+tan² \theta = sec² \theta\)

De plus, \(dx = sec² \theta .d \theta\)

\(\begin{align*} I & = \int \frac{1}{(1+x^2)^{5/2}}dx  \\
& = \int \frac{1}{(1+tan²\theta)^{5/2}}.sec²\theta.d\theta \\ 
& = \int \frac{1}{(sec²\theta)^{5/2}}.sec²\theta.d\theta \\ 
& = \int \frac{1}{(sec\theta)^5}.sec²\theta.d\theta \\ 
& = \int \frac{1}{sec^3\theta}d\theta \\ 
\end{align*}\)

Je vous laisse terminer le calcul

\(\begin {align*} I & \int e^{\sqrt{x}}.dx \end {align*}\)

Il n' y a pas grand chose d'autre à faire que de poser un changement de variables \(u=\sqrt x\)

\(\begin {align*} &  \begin{cases} u=\sqrt x \Rightarrow u²=x \\ 2u.du = dx \end{cases}  \\ \\
I & = \int e^{\sqrt{x}}.dx \\
& = \int 2ue^udu 
\end {align*}\)

Il ne reste plus qu'a faire une intégration par parties pour trouver le résultat.

\(\begin {align*} I & = \int sin²x.dx \end {align*}\)

On se rend bien compte ici que:

• il ne sert a rien d'utiliser \(sin²x+cos²x=1\), on se retrouverait avec le même soucis avec \(cos\) au lieu \(sin\)
• pas de chzangement de variable \(u=sinx\), en dérivant cette fonction pour remplacer \(dx\), on ferait apparaitre du \(cos x\)
• le mieux est encore de linéariser \(sin²x = \frac{1-cos2x}{2}\)

\(\begin{align*} I & = \int sin²x.dx  \\
& = \int \frac{1-cos2x}{2}dx \\
& = \frac{1}{2} \int(1-cos2x)dx \\
& = \frac{1}{2} \int dx - \frac{1}{2} \int cos2x dx \end {align*}\)

Je vous laisse terminer le calcul avec un changement de variable \(u=2x\) pour la primitive de \(\int cos2x.dx\)

\)\begin {align*}  I & = \int \frac{e^x}{sec x}dx \\
 & = \int e^x.cosx.dx  \\
\end {align*}\(

on sait intégrer et dériver les 2 fonctions \)e^x\( et \)cosx\(

On peut donc faire une intégration par parties. On remarque même qu'en intégrant 2 fois par parties, nous aurons à nouveau une expression du type \)e^x.cosx\(

Cette situation est trés fréquente. Cette méthode est à bien retenir

\)\begin {align*}  I & = \int \frac{e^x}{sec x}dx \\
 & = \int e^x.cosx.dx  \\ & =  e^x.cosx -e^x.sinx -\int e^x.cosx.dx \\
I & = \int e^x.cosx.dx  \\ & =  e^x.sinx -e^x.cosx -I \\
\Rightarrow &  2I=e^x.sinx -e^x.cosx \\
I & = \frac{1}{2}[e^x.sinx -e^x.cosx]
\end {align*}\(

\)\begin {align*}  I & = \int \frac{1}{1 +cos x}dx \end {align*}\(

Nous ne pouvons rien faire de\)1+cosx\(: nous ne connaissons pas de formule trigonométrique nous permettant de jongler avec cette élément.

En revanche, le dénominateur était du style \)1-cos²x\(, alors on pourrait le transformer en \)sin²x\(.

Essayons de multiplier par le conjugué

\)\begin {align*}  I & = \int \frac{1}{1 +cos x}dx \\ 
& = \int \frac{1}{1 +cos x} \times \frac{1-cosx}{1-cosx}dx \\
& = \int \frac{1 -cos x}{1 -cos² x} dx \\
& = \int \frac{1 -cos x}{sin²x} dx \\
& = \int \frac{1}{sin²x}dx-\int \frac{cosx}{sinx.sinx}dx \\
& = \int csc² x. dx - \int  \frac{1 \times cosx}{sinx.sinx}dx \\
& = \int csc² x. dx - \int cscx.cotx.dx \\
\end {align*}\(

\)\begin {align*} I & = \int \frac{x-4}{x^4-1}dx \end {align*}\(

• La dérivée du dénominateur \)\ne\( numérateur
• fraction rationnelle \) \Rightarrow\( décomposition en éléments simples

\)\begin {align*} I & = \int \frac{x-4}{x^4-1}dx \\
& = \int \frac{x-4}{(x-1)(x+1)(x²+1)}dx \\
& = \int \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x²+1}dx 
\end {align*}\(

Je vous laisse terminer le calcul........

\)\begin {align*} I  & = \int \frac{x²}{\sqrt{1-x²}}dx \end {align*}\(

• pas de rapport de d'une fonction et de sa dérivée
• pas de fraction rationnelle a cause de la racine
• pas d'expression conjuguée
• \)1-x²\( nous fait pencher pour une substitution trigonométrique
• \)x = sin\theta\(

\)\begin {align*} &  \begin{cases} x=sin\theta \\ dx = cos\theta.d\theta \end{cases} \\
I  & = \int \frac{x²}{\sqrt{1-x²}}dx \\
& = \int \frac{sin² \theta}{\sqrt{1-sin² \theta}} \times cos \theta.d \theta \\
& = \int \frac{sin² \theta}{\cancel{cos \theta}} \times \cancel{cos \theta}.d \theta \\
& = \int sin² \theta.d \theta \\
 \end {align*}$

Je vous laisse calculer la suite (voir un des autres exemples de cette page)