P(x) = ax²+bx+c, Delta négatif

\[\begin{align*} I = \int \frac{1}{x²+x+1}dx \end{align*}\]

Soit \(P(x) = x²+x+1\) , avec \(\boxed{\Delta <0}\) \((\Delta = 1²-4 \times 1 \times 1 = -3\), alors \(P(x)\) n 'admet aucune solution dans \(\mathbb R\). On complète les carrés , ce qui nous mènera à une forme : \(\begin{align*} \int \frac{1}{x²+a²}dx\end{align*}\)

Si il y a une formule à retenir pour l'intégration des fractions rationnelles, c 'est bien celle-là (la démonstration est dans la partie Généralisation ci dessous): \[\begin{align*} \int \frac{1}{x²+a²}dx = \frac{1}{a} tan^{-1} \bigg(  \frac{x}{a}\bigg)\end{align*}\]

Compléter les carrés:
\(\begin{align*} P(x) &  = x²+x+1 && = (x-1/2)² -(1/2)²+1 \\ 
& = (x-1/2)² +(3/4) && = (x-\frac{1}{2})^2 +(\frac{\sqrt 3}{2})^2  \end{align*}\)

Application de la formule:
\(\begin{align*} I & =  \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 +(\frac{\sqrt 3}{2})^2} dx
& =\frac{1}{\sqrt 3/2} tan^{-1} \bigg(\frac{x-1/2}{\sqrt 3/2} \bigg)+C \\
& = \frac{2}{\sqrt 3} tan^{-1} \bigg(\frac{2x-1}{\sqrt 3} \bigg)+C \end{align*}\)

 

En continuant le calcul: factoriser  par \((\sqrt3/2)²\):
\(\begin{align*} I & =  \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 +(\frac{\sqrt 3}{2})^2} dx  && \int \frac{1}{(\sqrt3/2)² \bigg[ \big(\frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt3/2} \big)^2 +1 \bigg]} dx \\
& =\frac{2}{\sqrt 3} \int \frac{2/\sqrt 3}{\big(\frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt3/2} \big)^2 +1} dx \end{align*}\)

Changement de variable: \(\begin{align*} & u = \frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt3/2}  && du = \frac{dx}{\sqrt3/2} && dx= \sqrt 3/2 du\end{align*}\)
\(\begin{align*} I & =\frac{2}{\sqrt 3} \int \frac{2/\sqrt 3}{\big(\frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt3/2} \big)^2 +1} dx && = \frac{2}{\sqrt 3} \int \frac{1}{u^2+1}du \\
& = \frac{2}{\sqrt 3} tan^{-1}  u +C && = \frac{2}{\sqrt 3} tan^{-1} \bigg( \frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt3/2} \bigg) +C \\
& =   \frac{2}{\sqrt 3} tan^{-1} \bigg( \frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt3/2} \bigg) +C && =   \frac{2}{\sqrt 3} tan^{-1} \bigg( \frac{2x-1}{\sqrt3} \bigg) +C\end{align*}\)

On comprend tout de suite l'intérêt de connaitre la formule. Si il y en a une à retenir dans tout ce chapitre , c est celle-là car elle vous fera gagner du temps, et éviter les erreurs de calcul.

\[\boxed{\begin{align*} \int \frac{1}{x²+a²}dx = \frac{1}{a} tan^{-1} \bigg(  \frac{x}{a}\bigg)\end{align*}}\]

 

Généralisation: \[\begin{align*} &  I  = \int \frac{1}{ax²+bx+c}dx  \end{align*}\]

 

Soit \(P(x)= ax^2 +bx+c\) avec \(a \neq 0\). Mettons \(P(x)\) sous la forme canonique: \(a \big[ \big( x+ \alpha)^2 + \beta \big) \big]\)

\(\begin{align*} P(x) & = ax^2 +bx +c = a   \big[  x^2+\frac{b}{a}x  + \frac{c}{a}   \big]  && = a   \big[  \big(x+\frac{b}{2a}\big)^2 - \big( \frac{b}{2a} \big)^2  + \frac{c}{a}   \big] \\
& = a  \big[  \big(x+\frac{b}{2a}\big)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{4ac}{4a^2}  \big]  && = a  \big[  \big(x+\frac{b}{2a}\big)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a^2}  \big]  \end{align*}\)

\[ \boxed{\begin{align*} P(x)=a  \bigg[  \big(x+\frac{b}{2a}\big)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}  \bigg] \\ \text{avec  } \Delta = b^2-4ac \end{align*} }\]

  

Si \(\Delta \lt 0\)

Alors \(P(x)\) n'a pas de solution dans \(\mathbb R\) (mais il a 2 solutions distinctes dans \(\mathbb C\) et dans ce cas on revient a la même forme que si \(\Delta \gt 0\), mais avec des nombres complexes).

Dans ce cas , on essaie de compléter un carré parfait et d'arriver à une forme \(\begin{align*} \int \frac{1}{x²+a²} dx \end{align*}\). Ensuite, un changement de variable devrait nous permettre d 'arriver à un résultat en \(tan^{-1}u\)

\(\begin{align*} P(x) & =a  \bigg[  \bigg(x+\frac{b}{2a}\bigg)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}  \bigg]  \text{   avec  } \Delta = b^2-4ac \lt 0   \\
& = a  \bigg[  \bigg(\underbrace{x+\frac{b}{2a}\bigg)^2}_{\gt 0} + \underbrace{\frac{-\Delta}{4a^2}}_{\gt 0}  \bigg] = a  \bigg[  \bigg(x+\frac{b}{2a}\bigg)^2 + \bigg( \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a} \bigg)^2  \bigg] \end{align*}\)

\(\begin{align*} &  I  = \int \frac{1}{ax²+bx+c}dx  =   \int \frac{1}{ a  \bigg[  \bigg(x+\frac{b}{2a}\bigg)^2 + \bigg( \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a} \bigg)^2 }  \bigg] dx \end{align*}\)

Changement de variable :
\(\begin{align*} & u = x+\frac{b}{2a}  \Rightarrow du =dx  \Rightarrow I =   \int \frac{1}{a  \bigg[  u^2 + \bigg( \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a} \bigg)^2  \bigg] } du \end{align*}\)

Remarque 1: \(\big( tan^{-1}x \big)' = \frac{1}{x^2+1}\). En factorisant par \( \bigg(\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a} \bigg)^2\), on fait apparaitre le \(+1\). Mais le calcul devient compliqué. Il est plus intéressant de connaitre \(\int \frac{1}{x^2+a^2}dx\) 
Remarque 2: Calcul de  \(\begin{align*} \int \frac{1}{x^2+a^2}dx \end{align*}\)
\(\begin{align*}J & = \int \frac{1}{x^2+a^2}dx  && = \int  \frac{1}{a² \big( \frac{x²}{a²}+1\big) }dx \\
& = \int  \frac{1/a²}{ \big( \frac{x²}{a²}+1\big) }dx && = \int  \frac{1}{a}\frac{1/a}{ \big( (\frac{x}{a})^2+1\big) }dx \\
& =\frac{1}{a} \int \frac{1/a}{ \big( (\frac{x}{a})^2+1\big) }dx \end{align*}\).
Ensuite on fait un changement de variable \( u=x/a \Rightarrow du=dx/a\), on a:
\(\begin{align*} J & = \int  \frac{1}{a}\frac{u'}{ \big( u^2+1\big) }du && =  \frac{1}{a} tan^{-1}\big( u \big)+C \\
& =  \frac{1}{a} tan^{-1}\big( \frac{x}{a} \big)+C \end{align*}\)
A bien retenir car elle présente un réel avantage: celui de raccourcir drastiquement les calculs:\[ \boxed{ \begin{align*} \int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a} tan^{-1}\big( \frac{x}{a} \big)+C \end{align*} } \]

\(\begin{align*}  I &  =   \int \frac{1}{a  \bigg[  u^2 + \bigg( \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a} \bigg)^2  \bigg] } du = \frac{1}{a} \int \frac{1}{\bigg[  u^2 + \bigg( \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a} \bigg)^2  \bigg] }du \\
& = \frac{1}{a} \times \frac{1}{\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a} } tan^{-1} \bigg( \frac{u}{\big( \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a} \big) } \bigg) +C = \frac{2}{\sqrt {-\Delta}}  tan^{-1} \bigg( \frac{2au}{\sqrt{-\Delta} } \bigg)+C \\
& =  \frac{2}{\sqrt {-\Delta}}  tan^{-1} \bigg( \frac{2a(x+\frac{b}{2a}}{\sqrt{-\Delta} } \bigg)+C=  \frac{2}{\sqrt {-\Delta}}  tan^{-1} \bigg( \frac{2ax+b}{\sqrt{-\Delta} } \bigg)+C  \\
& =  \frac{2}{\sqrt {-\Delta}}  tan^{-1} \bigg(\frac{2a}{\sqrt{-\Delta}}(x+\frac{b}{2a}   \bigg)+C \end{align*}\)