La trigonométrie sphérique est un ensemble de relations analogues à celles de la trigonométrie euclidienne mais portant sur les angles et distances repérés sur une sphère.
La figure de base est le triangle sphérique, délimité non plus par des segments de droites mais par des arcs de demi-grands cercles de cette sphère. Les règles habituelles de la trigonométrie euclidienne ne sont pas applicables ; par exemple la somme des angles d'un triangle situé sur une sphère, s'ils sont exprimés en degrés, est supérieure à 180 degrés.
- Définitions
- Coordonnées de M sur une sphére
- Formule fondamentale
- Analogie des sinus
- Formule des 4 éléments ou des cotangente
- Application au triangle rectangle
1 - Définitions
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Un grand cercle : c 'est un cercle dont le centre est confondu avec le centre du repère O Un arc de grand cercle: est une partie d'un grand cercle. On peut donner longueur qui est équivalente à l'angle au centre de la sphéreé Un triangle sphérique est un triangle formé par 3 arcs de grand cercle. Le triangle ABC est un triangle sphérique. Les côtés d'un triangle sphérique sont des arcs de grand cercle. Leur longueur par l'angle au centre de la Terre O exprimé en minutes d'arc. Ainsi toutes les longueurs peuvent être converties en angle (°, ', ") ou (°, ', '/100), et vice versa. |
La sphère trigonométrique est une sphére centrée en o (origine du repére) et de rayon =1.
2 - Coordonnées d'un point M sur une sphére
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Dans le repère (O, x, y, z), les coordonnées de M sont: \(\overrightarrow{OM}: \begin{cases} X & = cos\theta . cos\phi \\ Y & =cos\theta . sin\phi \\ Z & =sin\theta \end{cases}\) |
Coordonnées d'un point M sur une sphère de rayon \(r=1\)
3 - La formule fondamentale
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Si on joint les sommets du triangle sphérique au centre O de la sphère, alors, on obtient un trièdre dont les angles dièdres sont les angles du triangle. Dans le repère (O, x, y, z), A est sur l'axe z, et B est sur le plan yOz, alors les coordonnées de B et de C sont: \(\overrightarrow{OB}: \begin{cases} X=0\\Y=sinc\\Z=cosc \end{cases}\) et \(\overrightarrow{OC}: \begin{cases} X'=sinb . sin\hat{A}\\Y'=sinb . cos\hat{A}\\Z'=cosb \end{cases}\) En calculant le produit scalaire \(\overrightarrow{OB} . \overrightarrow{OC}\) de 2 façons différentes, nous avons: \(\begin{cases} \overrightarrow{OB} . \overrightarrow{OC} = \Vert \overrightarrow{OB} \Vert. \Vert \overrightarrow{OC} \Vert \times cos(\widehat{\overrightarrow{OB} \overrightarrow{OC}}) = 1 \times 1 \times cosa=cosa \\ \overrightarrow{OB} . \overrightarrow{OC} = XX'+YY' + ZZ' = sinc \space sinb \space cos\hat{A} + cosc \space cosb \end{cases} \\ \Rightarrow cosa = cosb . cosc + sinb . sinc . cosA \)
\[ \boxed { Cette formule est valable pour tous les côtés du triangle sphérique. Si vous voulez mémoriser cette formule fondamentale, je vous conseille de la considérer géométriquement. Il est plus facile de retenir "cos = coscos(côtés) + sinsin(côtés)cos(angle opposé)".
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Soit une sphère de rayon r=1
Soit ABC les sommets d'un triangle sphérique; a,b,c les distances associées;
4 - Analogie des sinus
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Nous connaissons la formule fondamentale: \(\begin{align*} cosa &= cosb . cosc + sinb . sinc . cos\hat{A} \\ \Rightarrow cos\hat{A}&=\frac{cosa-cosb . cosc}{sinb . sinc} \\ sin^2\hat{A} &=1-cos^2\hat{A} = 1-\frac{(cosa-cosb . cosc)^2}{sin^2b . sin^2c} \\&=\frac{sin^2b . sin^2c-(cosa-cosb . cosc)^2}{sin^2b . sin^2c} \\ &=\frac{(1-cos^2b)(1-cos^2c) -(cosa-cosb . cosc)^2}{sin^2b . sin^2c} \\ &=\frac{1-cos^2a-cos^2b-cos^2c+2cosa.cosb.cosc}{sin^2b . sin^2c} \\ \Rightarrow \frac{sin^2\hat{A}}{sin^2a}&=\frac{1-cos^2a-cos^2b-cos^2c+2cosa.cosb.cosc}{sin^2a.sin^2b.sin^2c} \\ \Rightarrow \frac{sin^2\hat{A}}{sin^2a}&=\frac{1-(cos^2a+cos^2b+cos^2c)+2cosa.cosb.cosc}{sin^2a.sin^2b.sin^2c} \end{align*}\) Cette formule ne change pas par permutation des quantité a, b, et c en conséquence: \[\frac{sin^2\hat{A}}{sin^2a}=\frac{sin^2\hat{B}}{sin^2b}=\frac{sin^2\hat{C}}{sin^2c}\] a, b, c sont inférieurs à 180°, donc sina, sinb, sinc, sont positifs. On peut alors écrire:
Attention: cette formule ne fonctionne que si l'on sait si l'angle que l'on cherche est > ou < à 90°. En effet: \(sinγ = sin (180 - γ)\). Si il y a une ambiguité qui ne peut être levée de façon claire, alors il ne faut pas utiliser cette analogie des sinus. Par exemple: si sinγ = 0,954 alors il y a 2 solutions
Il faut, dans ce cas, préférer la formule des 4 éléments. |
5 - Formule des 4 éléments ou des cotangentes
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Calculons \(cosc\) et remplaçons dans la 1ère équation par: \(\begin{align*} cosa&=cosb.(cosa.cosb+sina.sinb.cos\hat{C}) +sinb.sinc.cos\hat{A} \\ &=cosa.cos^2b+cosb.sina.sinb.cos\hat{C}+sinb.sinc.cos\hat{A} \end{align*} \\ \Rightarrow cosa.(1-cos^2b)-cosb.sina.sinb.cos\hat{C} =sinb.sinc.cos\hat{A} \\ \Rightarrow cosa.sin^2b-cosb.sina.sinb.cos\hat{C} =sinb.sinc.cos\hat{A} \\ \Rightarrow \text{(1): } \boxed{cosa.sinb-cosb.sina.cos\hat{C} =sinc.cos\hat{A}} \space \text{ si } sinb \neq 0 \)
De même, calculons \(cosb\) et remplaçons dans la 1ère équation par:
L'analogie des sinus nous donne: \( \begin{align*}sina=\frac{sinc.sin\hat{A}}{sin\hat{C}} \text{ et } sina=\frac{sinb.sin\hat{A}}{sin\hat{B}} \end{align*}\)
Divisons (1) par \(sina\) puis remplaçons \(sina\) par sa 1ère expression \(sina=\frac{sinc.sin\hat{A}}{sin\hat{C}}\) \( \begin{align*} & \Rightarrow cosa.sinb-cosb.sina.cos\hat{C} =sinc.cos\hat{A} \\ & \Rightarrow \frac{cosa.sinb}{sina}-\frac{cosb.sina.cos\hat{C}}{sina} =\frac{sinc.cos\hat{A}}{sina} \\ & \Rightarrow cotana.sinb - cosb.cos\hat{C}=\frac{sinc.cos\hat{A}.sin\hat{C}}{sinc.sin\hat{A}} \\ & \Rightarrow \boxed{cotana.sinb = cotan\hat{A}.sin\hat{C}+cosb.cos\hat{C}} \end{align*}\)
De même,divisons (2) par \(sina\) , puis remplaçons \(sina\) par sa 2ème expression \(sina=\frac{sinb.sin\hat{A}}{sin\hat{B}}\) . \(\Rightarrow \boxed{cotana.sinc = cotan\hat{A}.sin\hat{B}+cosb.cos\hat{C}}\)
Par exemple dans le triangle suivant, on a : \(\boxed {cotan a \times sin c = cotan \hat{A} \times sin \hat{B} + cos c \times cos \hat{B}}\) Il suffira de se rappeler la formule unique suivante: \[\boxed {C_e \space S_i \space cotés = C_e \space S_i \space angles + Cos_i \space Cos_i}\] avec:
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Nous connaissons la formule fondamentale, appliquons la au côté a: 
En utilisant toutes les formules fondamentales, il est possible d'écrire 6 formules des cotangentes, reliant 4 éléments consécutifs. Cette formule contient forcément 2 angles et 2 côtés.
6 - Application au triangle rectangle (le pentagone)
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Si un côté (a,b,c) fait 90°, alors le triangle est dit rectilatere (recti = droit ; latere = côté). Si un triangle est rectangle, alors les 6 formes de la formule des 4 éléments consécutifs se simplifient.
Formule des 4 éléments: Il reste alors: \[\boxed{cosa = sin(90-b)sin(90-c)=cotan\hat{B}.cotan \hat{C}}\]
On dessine un pentagone sur lequel on détermine les valeurs ci contre. Le côté du bas représente l'hypoténuse du triangle rectangle. Puis on y place les différentes valeurs indiquées. (on remarque que les éléments sont dans l'ordre lu sur la sphère)
\[\boxed { cos = \prod sin(op) = \prod cotan(adj)}\] Pour rappel:
Ce qui nous donne alors:
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Un triangle sphérique est dit rectangle si un de ses angles α, β, γ (ou \(\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}\)) est droit. On ne parle pas ici des longueurs a,b, c.
Les formules fondamentale et des 4 éléments sont "symétriques". Ainsi, on peut démontrer et dire que le cosinus d'un côté du pentagone est égal: