1 - Définition du triangle sphérique
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Un triangle sphérique est un triangle formé par 3 arcs de grand cercle de cette sphère. Le triangle ABC est un triangle sphérique Les côtés d'un triangle sphérique sont des arcs de grand cercle. Leur longueur correspond alors a des angles au centre de la sphère.
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Soit une sphère de centre \(O\) et de rayon \(r\)
2 - Coordonnées d'un point M sur une sphère de rayon 1
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3 - Formule fondamentale
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Si on joint les sommets du triangle sphérique au centre O de la sphère, alors, on obtient un trièdre dont les angles dièdres sont les angles du triangle. Dans le repère (O, x, y, z), A est sur l'axe z, et B est sur le plan yOz, alors les coordonnées de B et de C sont: \(\overrightarrow{OB}: \begin{vmatrix} &X=0\\&Y=sinc\\&Z=cosc \end{vmatrix}\) et \(\overrightarrow{OC}: \begin{vmatrix} &X'=sinb . sin\hat{A}\\&Y'=sinb . cos\hat{A}\\&Z'=cosb \end{vmatrix}\)
En calculant le produit scalaire de 2 façons différentes, nous avons: \(\begin{align*} \begin{cases} \overrightarrow{OB} . \overrightarrow{OC} = \Vert \overrightarrow{OB} \Vert. \Vert \overrightarrow{OC} \Vert \times cosa = 1 \times 1 \times cosa = cosa \\ \overrightarrow{OB} . \overrightarrow{OC} = XX'+YY' + ZZ' = sinc \space sinb \space cos\hat{A} + cosc \space cosb \end{cases} \end{align*} \) Et par identification:
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Soit une sphère de rayon r=1
4 - Généralisation de la Formule fondamentale
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\(\begin{cases} a, b, c \text{ les distances associées} \\ \hat{A}= \alpha, \hat{B} = \beta, \hat{C} = \gamma \text{, les angles au sommet} \end{cases}\). Alors: \[\boxed {cosa = cosb \space cosc + sinb \space sinc \space cos\hat{A}}\]ou\[\boxed {cosa = cosb \space cosc + sinb \space sinc \space cosα}\] Cette formule est valable pour tous les côtés du triangle sphérique. Si vous voulez mémoriser cette formule fondamentale, je vous conseille de la considérer géométriquement. Il est plus facile de retenir "cos = coscos(côtés) + sinsin(côtés)cos(angle opposé)". |
Soit ABC un triangle, et