Si on considère que trouver une primitive, ou calculer une intégrale, signifie: "trouver une fonction réciproque de la dérivation" , il faut très très bien connaitre toutes ses dérivées. Et même encore mieux les connaitre.
Je vous présente ici les 8 primitives / dérivées les plus courantes. Bien sûr il faut aussi connaitre les autres mais ces 8 là sont vraiment à retenir.
- \(\begin{align*} I = \int sec²x.dx\end{align*}\) semble compliqué,
mais en connaissant bien ces dérivées, on sait que \(\begin{align*} [tan x]' = sec²x \end{align*} \) et donc que \(I= tanx + C\)
Quelques exemples supplémentaires:
- \(\begin{align*} I = \int \frac{1}{x}.dx = \ln \lvert x \rvert +C\end{align*}\). Il ne faut pas oublier les valeurs absolues, sinon le résultat n 'existerait pas pour les valeurs négatives de \(x\) alors que la fonction à intégrée (1/x) existe et est continue sur \(\mathbb R^*\) et est donc intégrable sur cet ensemble de définition.
- \(\begin{align*} I = \int \frac{1}{\sqrt{1-x²}}.dx = sin^{-1}x+C\end{align*}\).
- \(\begin{align*} I = \int secx.tanx.dx = secx+C\end{align*}\)
- \(\begin{align*} I = \int \frac{1}{1+x²}.dx = tan^{-1}x+C\end{align*}\)
- \(\begin{align*} I = \int cosx.dx = sinx +C \end{align*}\)
- \(\begin{align*} I = \int sinx.dx = -cosx+C\end{align*}\)
- \(\begin{align*} I = \int e^x.dx = e^x+C\end{align*}\)
Note: attention à la notation :
- \(sin^{-1}x\) signifie : la fonction réciproque de \(sinx\)
- \(sin^{-1}x \neq \frac{1}{sinx}\): Supposons : \( sint = x\), alors \(sin^{-1}(sint) = sin^{-1}x\) et \(t = sin^-1}x\)
- \((sinx)^{-1} = \frac{1}{sinx}\)
- On peut aussi écrire ces fonctions inverse
\(arcsin\),
\(arccos\), et
\(arctan\)
ce qui est plus long (informatiquement!!).