En mathématiques, les polynômes de Laguerre, nommés d'après Edmond Laguerre, sont les solutions normalisées de l'équation de Laguerre : \[ xy"+(1-x)y'+ny=0\] qui est une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 et se réécrit sous la forme de  Sturm-Liouville: \(−\frac{d}{dx} \Bigg(xe^−x \frac{dy}{dx} \Bigg)=n e^{−x} y\) Les polynômes de Laguerre apparaissent en mécanique quantique dans la partie radiale de la solution de l'équation de Schrödinger pour un atome à un électron. Le coefficient dominant de \(L_n\) est \(\frac{(–1)^n}{n!}\). Les physiciens utilisent souvent une définition des polynômes de Laguerre où ceux-ci sont multipliés par \(\frac{(–1)^n}{n!}\), obtenant ainsi des polynômes unitaires.

Les polynômes de Laguerre sont des polynômes définis par : \(\begin{align*} L_n(x) = \frac{e^x}{n!}(x^n e^{-x} )^{ (n) } \end{align*}\) ou (\(x^n e^{-x} )^{ (n) }\) est la dérivée nième de \((x^n e^{-x}) \).

1. Calculer \(L_0\), \(L_1\), \(L_2\)
2. Montrer en utilisant la formule de Leiniz généralisée que \(\begin{align*} L_n(x) = \sum\limits_{k=0^n} \binom{n}{k}\frac{(-x)^k}{k!}    \end{align*}\). Vérifier pour \(L_2\). Calculer \(L_3\)
3. Remarquer que \(\forall n \in \mathbb N, \space L_n(0)=1\).
4. Montrer que  \(\begin{align*} \forall n \in \mathbb N, \space I_n=\int_0^{+\infty} \frac{1}{n!}x^ne^{-x}dx   =1  \end{align*}\)
5. Montrer que pour \(n \in \mathbb N; \space 0 \leq k \leq n, \space \big(e^{-x}x^n \big)^{(k)} = \big( \sum\limits_{j=n-k}^{n}a_jx^j \big)e^{-x}\)
6. En déduire que \(\forall n \in \mathbb N^*, \space 0 \leq k \lt n\) et \(Q \in \mathbb R[X]\), on a : \(\big[ (e^{-x}x^n)^{(k)}Q(x)\big]_0^{+\infty}=0\)
7. Soit \(E= \mathbb R[X]\) muni de la fonction \(\begin{align*} (P,Q) \in E^2 \mapsto \langle P,Q \rangle = \int_0^{+\infty}P(x)Q(x)e^{-x}dx \end{align*}\). Montrer que \(\langle P;Q \rangle\) définit un produit scalaire.

8. Montrer que \(\forall Q \in \mathbb R[X]\), On a : \(\begin{align*} \langle L_n,Q \rangle = \frac{ (-1)^n}{n!} \int_0^{+\infty} e^{-x}x^n Q^{(n)} \end{align*}\). 

9. Montrer que la famille \(\big( L_k \big)_{0 \leq k \leq n}\) est une base de \(\mathbb R_n[X]\) et que \(\big( L_k \big)_{k n \mathbb N}\) est une base othonormale de \(\mathbb R[X]\)
10. Montrer que \(\big( L_n \big)_{n \in \mathbb N}\) est l'unique base de \(\mathbb R[X] \) vérifiant \(deg(L_n) \leq n\) et \(L_n(0) \geq 0, \space \forall n \in \mathbb N\)
11. Etudier les racines de \(L_1\), \(L_2\), \(L_3\)
12. Montrer que \(\forall n \gt 0, \space \int_0^{+ \infty} L_n(x) e^{-x}dx = 0\) et que \(L_n\) a au moins 1 racine positive d'ordre impair.
13. Montrer que \(\forall n \gt 0, \space L_n\) a exactement \(n\) racines positives 

Rappel: \(\begin{align*} L_n(x) = \frac{e^x}{n!}(x^n e^{-x} )^{ (n) }\end{align*}\)

\(\begin{align*} L_0(x) = \frac{e^x}{0!}(x^0 e^{-x} )^{ (0) } = e^x(1 \times e^{-x} )^{ (0) }=e^x \times e^{-x}=e^0 = 1\end{align*}\)

\(\begin{align*} L_1(x) & = \frac{e^x}{1!}(x^1 e^{-x} )^{ (1) } = e^x(xe^{-x})' = e^x[e^{-x}-xe^{-x} ] \\
& = e^x \times [e^{-x}(1-x) ]  = 1-x\end{align*}\)

\(\begin{align*} L_2(x) & = \frac{e^x}{2!}(x^2 e^{-x} )^{ (2) } = \frac{e^x}{2}(x^2 e^{-x} )" = \frac{e^x}{2} \times [2x e^{-x}-x^2e^{-x}]'  \\
& = \frac{e^x}{2} [2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2x e^{-x} + x^2 e^{-x} ] = \frac{e^x}{2} \times e^{-x}[2-2x-2x - x^2 ] \\& =\frac{1}{2}(2-4x+x^2) \end{align*}\)

Rappel de cours  :

Rappel: \(\begin{align*} L_n(x) = \frac{e^x}{n!}(x^n e^{-x} )^{ (n) }\end{align*}\)

Posons : \(f(x) = e^{-x} \) et \(g(x) =x^{n}\), alors \(f\) et \(g\) sont de classe \(C^\infty\). Calculons \(f^{(k)}\) et \(g^{(n-k)}\)

• \(f(x) = e^{-x} \Rightarrow f^{(k)} = (-1)^k e^{-x}\)
  
  
• \(g(x) =x^{n}\)
  \( g'(x)= nx^{n-1}\), \( g''(x)= n(n-1)x^{n-2}\) \(\Rightarrow g^{(n)}(x) = n!x^0=n!\)
  On cherche une expression de \(g^{(n-k)}\)
  dérivée d'ordre n (\(k=0\)):  \( = n!= n!x^{0}= \frac{n!}{0!}x^{k} = \frac{n!}{k!}x^{k}\)
  dérivée d 'ordre 0 (\(k=n\)): \( = x^{n} =\frac{n!}{n!} x^{n} =\frac{n!}{k!} x^{k}\)
  dérivée d 'ordre 1 (\(k=n-1\)): \( = n x^{n} =\frac{n!}{(n-1)!} x^{n-1}= \frac{n!}{k!} x^{k} \)
  dérivée d 'ordre 2 (\(k=n-2\)): \( = n(n-1)x^{n-2} = \frac{n!}{1 \times 2 \times \cdots \times(n-2)}x^{n-2} = \frac{n!}{k!}x^{k} \)
  dérivée d 'ordre 3 (\(k=n-3\)): \( = n(n-1)(n-2)x^{n-3}= \frac{n!}{1 \times 2 \times \cdots \times(n-3)}x^{n-3} = \frac{n!}{k!}x^{k} \)
  \(\Rightarrow g^{(n-k)} = \frac{n!}{k!} x^{k}\)
  
  
• Calculons \(L_n(x)\)
  \(\begin{align*} L_n(x) & = \frac{e^x}{n!}(x^n e^{-x} )^{ (n) } \\ 
  & = \frac{e^x}{n!}  \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}  \\ 
  & = \frac{\cancel{e^x}}{\cancel{n!}} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k \cancel{e^{-x}} \frac{\cancel{n!}}{k!}x^{k} = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k  \frac{x^{k}}{k!}= \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}  \frac{(-x)^{k}}{k!} \end{align*}\)

\(\begin{align*} L_2(x) & = \sum\limits_{k=0}^2 \binom{2}{k}  \frac{(-x^{k})}{k!} \\
& = \underbrace{\binom{2}{0}}_{1}  \frac{(-x)^{0}}{0!} + \binom{2}{1}  \frac{(-x)^{1}}{1!} + \binom{2}{2}  \frac{(-x)^{2}}{2!} \\
& = 1 - 2x +\frac{x^2}{2} = \frac{1}{2}(2-4x+x^2) \end{align*}\)

\(\begin{align*} L_3(x) & = \sum\limits_{k=0}^3 \binom{3}{k}  \frac{(-x^{k})}{k!} \\
& = \underbrace{\binom{3}{0}}_{1}  \underbrace{\frac{(-x)^{0}}{0!}}_{1} + \underbrace{\binom{3}{1}}_{3}  \frac{(-x)^{1}}{1!} + \underbrace{\binom{3}{2}}_{3}  \frac{(-x)^{2}}{2!} + \underbrace{\binom{3}{3}}_{1}  \frac{(-x)^{3}}{3!} \\
& = 1 - 3x +\frac{3x^2}{2}- \frac{x^3}{6} = \frac{1}{6}(6-18x+9x^2-x^3) \end{align*}\)

\(\begin{align*} L_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}  \frac{(-x)^{k}}{k!} \end{align*}\)

\(\begin{align*} L_n(0) & = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}  \frac{0^{k}}{k!} \\
& = \underbrace{\binom{n}{0}}_1  \frac{\overbrace{0^{0}}^1}{\underbrace{0!}_1} +\cancel{ \binom{n}{1}  \frac{0^{1}}{1!}}^0+ \cancel{\binom{n}{2}  \frac{0^{2}}{2!}}^0 + \dots \dots = 1  \end{align*}\)

En effet, d'après la question  :  \(L_0(0) = L_1(0) =L_2(0)=1\)

\(\begin{align*}   I_0 & =\int_0^{+\infty} \frac{1}{0!}x^0e^{-x}dx   \\
& = \int_0^{+\infty} e^{-x}dx = \bigg[ -e^{-x}\bigg]_0^{+\infty}
= 0 - (-1) = 1\end{align*}\)

Par récurrence: Soit la proposition \(P_n\):  \( \begin{align*}I_n=\int_0^{+\infty} \frac{1}{n!}x^ne^{-x}dx   =1 \end{align*}\)

• Initialisation:
  par calcul ci-dessus: \(I_0 = 1\)
  par hypothèse: \(I_0=1\)
  La proposition \(P_n\) est vraie pour \(n=0\)
  
  
• Récurrence:
  Supposons la proposition \(P_n\) vraie au rang \(n\), soit : \(I_n=1\)
  Montrons qu'elle est vraie au rang \(n+1\), soit : \(I_{n+1}=1\)
  Calculons \(I_{n+1}\) par IPP:
  \(\begin{align}I_{n+1} & =\int_0^{+\infty} \frac{1}{(n+1)!}\underbrace{x^{n+1}}_{u} \underbrace{e^{-x}}_{v'}dx \\
  & = \bigg[ \frac{1}{(n+1)!} x^{n+1}(-e^{-x}) \bigg]_0^{+\infty} - \int_0^{+\infty} \frac{1}{(n+1)!}(n+1)x^{n} (-e^{-x})dx  \\
  & = \underbrace{\lim\limits_{x \to +\infty} \bigg[ \frac{1}{(n+1)!} x^{n+1}(-e^{-x}) \bigg]}_{=0 \text{ (croissance comparée)}} - \underbrace{\lim\limits_{x \to 0} \bigg[ \frac{1}{(n+1)!} x^{n+1}(-e^{-x}) \bigg] }_{0 \text{ si }x=0} - \int_0^{+\infty} \frac{1}{(n+1)!}(n+1)x^{n} (-e^{-x})dx  \\
  & = \int_0^{+\infty} \frac{1}{n!}x^{n} e^{-x}dx = I_n = 1\end{align} \) 
  
  
• Conclusion: 
  La proposition \(P_n\) : \( \begin{align} I_n=\int_0^{+\infty} \frac{1}{n!}x^ne^{-x}dx   =1  \end{align}\) est vraie au rang \(n=0\), si elle est vraie au rang \(n\), alors elle est vraie au rang \(n+1\). Elles est donc vraie \(\forall n \in \mathbb N\)
  
  

On veut montrer que la dérivée de \(e^{-x}x^n\) , est de la forme \(e^{-x}Q(x)\), où \(Q(x)\) est un polynôme.

Démontrons par récurrence sur \(k\):
Soit la proposition \(P_k\): \((e^{-x}x^n \big)^{(k)} = \big( \sum\limits_{j=n-k}^{n}a_jx^j \big)e^{-x}\) 

• Initialisation:
  

  Pour \(k= 0\) :
  Par calcul: \((e^{-x}x^n \big)^{(0)} = e^{-x}x^n = e^{-x}x^n\)
  Par hypothèse : \((e^{-x}x^n \big)^{(0)} = \big( \sum\limits_{j=n-0}^{n}a_jx^j \big)e^{-x} = a_nx^ne^{-x}=e^{-x}x^n\) avec \(a_n=1\)
  La proposition \(P_k\) est vraie pour \(k= 0\)

• Récurrence:
  Supposons la proposition \(P_k\) vraie au rang \(k\): \((e^{-x}x^n \big)^{(k)} = \big( \sum\limits_{j=n-k}^{n}a_jx^j \big)e^{-x}\)
  Montrons qu'elle est vraie au rang \(k+1\): \((e^{-x}x^n \big)^{(k+1)} = \big( \sum\limits_{j=n-k-1}^{n}a_jx^j \big)e^{-x}\)
  \(\begin{align*} (e^{-x}x^n \big)^{(k+1)} & =  \bigg[ \big( \sum\limits_{j=n-k}^{n}a_jx^j \big)e^{-x}  \bigg]' \\
  & = - \big( \sum\limits_{j=n-k}^{n}a_jx^j \big)e^{-x} + \big( \sum\limits_{j=n-k}^{n}j.a_jx^{j-1} \big)e^{-x} \\
  & = e^{-x} \bigg[ -  \sum\limits_{j=n-k}^{n}a_jx^j +  \sum\limits_{j=n-k}^{n}j.a_jx^{j-1} \bigg] \\
  & = e^{-x} \bigg[\underbrace{ -  \sum\limits_{j=n-k}^{n}a_jx^j +  \sum\limits_{j=n-(k+1)}^{n-1}(j+1).a_{j+1}x^{j}}_{\text{polynôme de degré n}} \bigg]  = \big( \sum\limits_{l=n-k}^{n}a_lx^l \big)e^{-x} \end{align*}\)
  La propriété \(P_k\) est vraie au rang \(k+1\)
  
  
• Conclusion:
  La proposition \(P_k\) est vraie au rang \(k=0\), si elle est vraie au rang \(k=n\), alors elle est vraie au rang \(k+1\). Donc elle est vraie \(\forall n \in \mathbb N\).

Pour \(k \lt n\) (donc \(\underline{n \gt 0}\)) , le degré de \(\big( \sum\limits_{j=n-k}^{n}a_jx^j \big) \gt 0\), et ce polynôme possède au moins un terme en \(x\), et on peut factoriser par \(x\). Alors on peut écrire : 
\(\begin{align} (e^{-x}x^n)^{(k)}Q(x) & =\big( \sum\limits_{j=n-k}^{n}a_jx^j \big)e^{-x}Q(x) 
 = x\big( \sum\limits_{l=n-k}^{n}a_lx^{l-1} \big)e^{-x} Q(x) \\
& = x e^{-x} \underbrace{\big( \sum\limits_{l=n-k}^{n}a_lx^{l-1} \big)Q(x)}_{P(x) \in \mathbb R[X]}  =  x e^{-x}P(x) \end{align}\)

\(\begin{align}  \begin{cases}  x e^{-x}P(x) \xrightarrow{x = 0} 0 \\ x e^{-x}P(x) \xrightarrow{x \to +\infty} 0 \text{ par croissance comparée} \end{cases} \\  \Longrightarrow \big[ (e^{-x}x^n)^{(k)}Q(x)\big]_0^{+\infty}=0 \end{align}\)

1 - Existence de l'intégrale qui définit \(\langle P,Q \rangle\)

2 - Rappels de cours

3 - Forme symétrique :\(\langle P|Q \rangle = \langle Q|P \rangle\)  ??

4 - Forme bilinéaire ??

5 - Forme définie positive ??

Rappels : \(\begin{align*} \begin{cases}  \langle P,Q \rangle = \int_0^{+\infty}P(x)Q(x)e^{-x}dx  \\  L_n(x) = \frac{e^x}{n!}(x^n e^{-x} )^{ (n) }  \\   \big[ (e^{-x} x^n)^{(k)} Q(x)\big]_0^{+\infty}=0 \space \underline{\forall n \in \mathbb N^*, \space 0 \leq k \lt n}, \space Q \in \mathbb R[X]  \\ \forall n \in \mathbb N, \space I_n=\int_0^{+\infty} \frac{1}{n!}x^ne^{-x}dx   =1 =I_0  \end{cases}\end{align*} \)

\(\begin{align*}  \langle L_n,Q \rangle & = \int_0^{+\infty}L_n(x)Q(x)e^{-x}dx  = \int_0^{+\infty} \frac{e^x}{n!}(x^n e^{-x} )^{ (n) } Q(x)e^{-x}dx \\
& =  \int_0^{+\infty} \frac{1}{n!}  \cancel{e^{-x} e^x}^{=1} (x^n e^{-x} )^{ (n) } Q(x)dx \\
& =  \frac{1}{n!} \int_0^{+\infty} (x^n e^{-x} )^{ (n) } Q(x) dx = \frac{1}{n!} \int_0^{+\infty} \underbrace{(x^n e^{-x} )^{ (n) }}_{u' }\underbrace{Q(x)}_{v}dx \\
& = \frac{1}{n!} \cancel{\bigg[  (x^n e^{-x} )^{ (n-1) }Q(x)\bigg]_0^{+\infty}}^{=0} - \frac{1}{n!} \int_0^{+\infty}  (x^n e^{-x} )^{ (n-1)}Q'(x)dx = J_n \\
& = \frac{(-1)^1}{n!}  \int_0^{+\infty}  (x^n e^{-x} )^{ (n-1)}Q^{(1)}(x)dx  = J_1\end{align*}\)

Montrons cette relation par récurrence sur \(k\):  \(0 \leq k \lt n \)
\(P_k\):  \(\begin{align*}\langle L_n,Q \rangle =\frac{(-1)^k}{n!}  \int_0^{+\infty}  (x^n e^{-x} )^{ (n-k)}Q^{(k)}(x)dx \end{align*}\) est vraie pour \(0 \leq k \lt n \)

• Initialisation:
  Par calcul / définition: \( \begin{align*} \langle L_n,Q \rangle  =  \frac{1}{n!} \int_0^{+\infty}  (x^ne^{-x})^{(n)}Q(x)dx \end{align*}\)
  Par hypothèse \(k=0\): \(\begin{align*} \langle L_n,Q \rangle   =\frac{(-1)^0}{n!} \int_0^{+\infty}  (x^n e^{-x} )^{ (n-0)}Q^{(0)}(x)dx =  \frac{1}{n!} \int_0^{+\infty}  (x^n e^{-x} )^{ (n)}Q(x)dx \end{align*}\)
  La proposition \(P_k\) est vraie au rang \(k=0\)
  
  
• Recurrence:
  Supposons la proposition \(P_k\) vraie au rang \(k=n\) soit \( \begin{align*} \langle L_n,Q \rangle=\frac{(-1)^k}{n!}  \int_0^{+\infty}  (x^n e^{-x} )^{ (n-k)}Q^{(k)}(x)dx \end{align*}\) est vraie pour \(0 \leq k \lt n \)
  Montrons qu 'elle est vraie au rang \(k+1\), soit : \( \begin{align*} \langle L_n,Q \rangle=\frac{(-1)^{k+1}}{n!}  \int_0^{+\infty}  (x^n e^{-x} )^{ (n-(k+1))}Q^{(k+1)}(x)dx \end{align*}\)
  \(\begin{align*} \langle L_n,Q \rangle & =  \int_0^{+\infty} \frac{(-1)^k}{n!} \underbrace{(x^n e^{-x} )^{ (n-k)}}_{u'} \underbrace{Q^{(k)}(x)}_{v}dx \\
  & =\cancel{ \bigg[ \frac{(-1)^k}{n!} (x^n e^{-x} )^{ (n-k-1)} Q^{(k)}(x) \bigg]_0^{+\infty}}^{0} - \int_0^{+\infty} \frac{(-1)^k}{n!} (x^n e^{-x} )^{ (n-k-1)}Q^{(k+1)}(x)dx \\
  & = -\frac{(-1)^k}{n!} \int_0^{+\infty} (x^n e^{-x} )^{ (n-(k+1))}Q^{(k+1)}(x)dx  \\
  & = \frac{(-1)^{k+1}}{n!} \int_0^{+\infty} (x^n e^{-x} )^{ (n-(k+1))}Q^{(k+1)}(x)dx\end{align*}\)
  La proposition \(P_k\) est vraie au rang \(k+1\).
  
  
• Conclusion:
  La proposition \(P_k\): \(\begin{align*}\langle L_n,Q \rangle=\frac{(-1)^k}{n!} \int_0^{+\infty}  (x^n e^{-x} )^{ (n-k)}Q^{(k)}(x)dx \end{align*}\) est vraie au rang \(k=0\). Si elle vraie au rang \(k\), alors elle est vraie au rang \(k+1\). Donc \(P_k\) est vraie \(\forall k, \space 0 \leq k \lt n \). Elle est vraie aussi pour \(k=n\).

• Pour \(k=n\):
  \(\begin{align*} \langle L_n,Q \rangle  = \frac{(-1)^n}{n!} \int_0^{+\infty}  (x^n e^{-x} )^{ (0)}Q^{(n)}(x)dx =\frac{(-1)^k}{n!} \int_0^{+\infty}  x^n e^{-x} Q^{(n)}(x)dx  \end{align*}\) 
  avec \(Q \in \mathbb R[X]\), donc de classe \(C^\infty\)
  
  

1 - \(B_n= \big( L_k \big)_{0 \leq k \leq n}\) est une base de \(\mathbb R_n[X]\) et \(B=\big( L_k) _{k \in \mathbb N}\) est une base de \(\mathbb R[X]\)

2 - othogonalité

3 - normalité

Rappel: \(\begin{align*} \begin{cases}\forall n \in \mathbb N, \space L_n(0)=1  \\ \langle P,Q \rangle \text{ produit scalaire } \begin{cases} \text{Symétrique} \\ \text{Bilinéaire} \\ \text{Défini positif}  \end{cases} \end{cases} \end{align*}\)

Démonstration par récurrence:

Soit la proposition \(P_n\): \(\exists \space  Q_n\), une base orthonormale de \(\mathbb R[X]\), avec \(deg(Q_n) \leq n\), et  \(Q_n(0) \geq 0\), alors \(Q_n = L_n\)

• Initialisation: \(k=0\)
  \(\exists \space Q_0\) avec \(deg(Q_0) \leq 0 \Rightarrow deg(Q_0)=0\) , donc \(Q_0=\lambda \in \mathbb R\), et  \(Q_0(0)=\lambda\) alors:
  \( \begin{align*}  \langle Q_0,Q_0 \rangle = & \int_0^{+ \infty} Q_0(x) Q_0(x) e^{-x}dx =1 \\
  \Rightarrow & \int_0^{+ \infty} \lambda^2 e^{-x}dx = 1 \\
  \Rightarrow & \lambda^2 \int_0^{+ \infty}  e^{-x}dx = 1 \\
  \Rightarrow & \lambda^2 = 1 \text{ et }\Rightarrow \lambda = \pm 1 \\
  \Rightarrow & \lambda =  1 \text{ car } Q_0(0)  \geq 0 \text{ et }Q_0(0) =\lambda  \end{align*}\)
  Et donc \(Q_0 = 1 = L_0\)
  La proposition \(P_n\) est vraie au rang \(n=0\)
  
  
  
• Récurrence:
  Supposons \(P_n\) vraie au rang \(n\) : soit : \(\exists \space  Q_n\), une base orthonormale de \(\mathbb R_{n+1}[X]\), avec \(deg(Q_n) \leq n\), et  \(Q_n(0) \geq 0\), alors \(Q_n = L_n\) 
  Montrons qu'elle est vraie au rang \(n+1\), soit : \(\exists \space  Q_{n+1}\), une base orthonormale de \(\mathbb R[X]\), avec \(deg(Q_{n+1}) \leq n+1\), et  \(Q_{n+1}(0) \geq 0\), alors \(Q_{n+1} = L_{n+1}\) 
  \((L_n)_{n \in \mathbb N}\) est une base de \(\mathbb R_{n+1}[X]\) et \(deg(Q_{n+1}) \leq n+1\) donc on peut écrire:
  \(\begin{align*}Q_{n+1} = \sum\limits_{j=0}^{n+1} \lambda_jL_j  \end{align*} \)  
  \(\begin{align*} \langle Q_{n+1},Q_{n} \rangle = & \langle \sum\limits_{j=0}^{n+1}  \lambda_jL_j,Q_{n} \rangle = 0 \text{ car Base Orthogonale et comme } Q_n = L_n \\
  \Rightarrow & \sum\limits_{j=0}^{n+1} \lambda_j \langle L_j,L_{n} \rangle =0 \text{ car Bilinéarité du produit scalaire }\\
  \Rightarrow & \lambda_n\underbrace{ \langle L_n,L_{n} \rangle}_{=1} =0 \text{ car Base Orthogonale: }\langle L_j,L_{k} \rangle =0 \\
  \Rightarrow & \lambda_n =0 \space \forall n \in [0;n] \text{ car Base normée: } \langle L_n,L_{n} \rangle =1 \end{align*} \) 
  Il ne reste alors que : \( Q_{n+1} = \lambda_{n+1}L_{n+1}\)
  
  \(\begin{align*} \langle Q_{n+1},Q_{n+1} \rangle = & \langle  \lambda_{n+1}L_{n+1},\lambda_{n+1}L_{n+1}  \rangle = 1 \\
  \Rightarrow &  \lambda_{n+1}^2 \langle L_{n+1},L_{n+1}\rangle = 1\\
  \Rightarrow & \lambda_{n+1}^2 =1 \text{ et }\Rightarrow \lambda_{n+1} = \pm 1  \end{align*} \)
  Et donc \(Q_{n+1} = \lambda_{n+1}L_{n+1}\) avec \(L_{n+1}(0) \geq 0 (=1)\) et \(Q_{n+1}(0) \geq 0\) 
  Alors \(\lambda_{n+1}=1 \) et \( Q_{n+1}= L_{n+1}\)
  La proposition \(P_n\) est vraie au rang \(n+1\)
  
  
  
• Conclusion:
  La proposition \(P_n\) :\(\exists \space  Q_n\), une base orthonormale de \(\mathbb R[X]\), avec \(deg(Q_n) \leq n\), et  \(Q_n(0) \geq 0\), alors \(Q_n = L_n\) est vraie au rang \(n=0\), si elle est vraie au rang \(n\), alors elle est vraie au rang \(n+1\). Elles est donc vraie \(\forall n \in \mathbb N\)
  
  Et en conséquence:, \(\forall n \in \mathbb N, \space Q_n = L_n\) et \(L_n\) est unique.

Rappels: \(\begin{align*} \begin{cases}  L_1 = -x+1 \\ L_2 =\frac{1}{2}( x^2-4x + 2)     \\ L_3 = \frac{1}{6}(-x^3+9x^2-18x+6)  \end{cases} \end{align*}\)

• Racine de \(L_1\)
  \(L_1 = -x+1\)
  \(L_1\) ne possède qu'une seule racine  \(x_0=1\)
  
  
  
• Racines de \(L_2\)
  \(L_2 = \frac{1}{2}( x^2-4x + 2) \)
  \(\Delta = (-4)^2-4 \times 2 \times 1 = (2 \sqrt 2)^2\)
  \(\begin{align*} \begin{cases} x_1=\frac{4 + 2 \sqrt 2}{2}  \\ x_2 = \frac{4 + 2 \sqrt 2}{2}  \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_1=2 +  \sqrt 2  \\ x_2 =2 -  \sqrt 2  \end{cases}\end{align*}\)
  
  
  
• Racines de \(L_3\)
  \(L_3 = \frac{1}{6}(-x^3+9x^2-18x+6)\)
  Pas de racines évidentes. Traçons le tableau des variations de \(L_3\).
  \(L'_3 = \frac{1}{6}(-3x^2+18x-18)=\frac{1}{18}(-x^2+6x-6)\)
  \(\Delta = 6^2-4 \times (-6) \times (-1) =12 = (2 \sqrt 3)^2\)
  \(\begin{align*} \begin{cases} x_1=\frac{-6 + 2 \sqrt 3}{-2}  \\ x_2 = \frac{-6 - 2 \sqrt 3}{-2}  \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_1=3 -  \sqrt 3  \\ x_2 =3 +  \sqrt 3  \end{cases}
  \Rightarrow L'_3 = 0 \Rightarrow \begin{cases} x_1=3 -  \sqrt 3  \\ x_2 =3 +  \sqrt 3  \end{cases}\end{align*}\)
  
  \(L_3\) est un polynôme en \(-x^3\) - donc positif et décroissant en \(-\infty\) et négatif et décroissant en \(+\infty\).
  \(L_3(0)=1\)
  
  Par calcul direct ou après division euclidienne: ( \(L_3 =\frac{1}{6} \big[ (x-3)(-x^2+6x)+6 \big]\)), 
  On a \(L_3(3-\sqrt 3) \lt 0\) et \(L_3(3+ \sqrt 3) \gt 0\)
  Ce qui nous permet de tracer le tableau des variations de \(L_3\) suivant:
  
  
  D'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires, appliqué sur 3 segments différents,  il existe: \( \alpha_1 \in ]0; 3-\sqrt 3 [\),  \( \alpha_2 \in ]3-\sqrt 3; 3+\sqrt 3 [\), et  \(\alpha_3 \in ]3+\sqrt 3; 3+\infty [ \)
  tels que \(L_3(\alpha_1)=0, \space L_3(\alpha_2)=0, \space L_3(\alpha_3)=0\). \(L_3\) est de degré 3 et possède alors 3 racines. Nous les avons toutes trouvées et elles sont toutes positives.

Rappels : \(\begin{align*} \begin{cases} \langle L_i,L_j \rangle = \int_0^{+ \infty} L_i(x)L_j(x) e^{-x}dx  \\ L_0 = 1      \end{cases} \end{align*}\)

\(\begin{align*} \int_0^{+ \infty} L_n(x) e^{-x}dx & =  \int_0^{+ \infty} 1 \times L_n(x) e^{-x}dx \\
& = \int_0^{+ \infty} L_0(x)  L_n(x) e^{-x}dx \\
& = \langle L_0,L_n \rangle = 0 \text{ si } \underline{n \neq 0} \end{align*}\) 

\[\begin{align*} \forall n \gt 0 , \space \int_0^{+ \infty} L_n(x) \underbrace{e^{-x}}_{\gt 0}dx = 0 \end{align*}\] et 
\( L_n(x) e^{-x}\) est continue, et \( L_n \) n'est pas identiquement nul.
Donc \(L_n\) change de signe au moins 1 fois sur \([0;+\infty]\).
Et \[L_n \text{ possède au moins 1 racine positive}\]

Si \(L_n\) n'avait que des racines positives d'ordre pair , alors \(L_n\) serait de la forme \(\underbrace{\prod(x-\alpha_i)^{2k}}_{\gt 0} \prod P_{\beta_i}(x)\) avec \( \prod P_{\beta_i}(x) = \underbrace{ax^2+bx+c}_{\Delta \lt 0}\) n'ayant aucune racine et étant de signe constant. Alors on aurait :\(L_n = \underbrace{\prod(x-\alpha_i)^{2k}}_{\gt 0} \prod P_{\beta_i}(x)\)  de signe constant et  \(\begin{align*} \int_0^{+ \infty} L_n(x) \underbrace{e^{-x}}_{\gt 0}dx \neq 0 \end{align*}\). Donc \(L_n\) n'a pas que des racines d 'ordre pair.

En conséquence: \(L_n\) possède au moins une racine d'ordre impair sur \([0;+\infty]\)
Et \(L_n(0)=1 \Rightarrow\) \[L_n \text{ possède au moins une racine d'ordre impair sur }  ]0;+\infty]\] .

Démonstration par l'absurde 

Considérons \(Q = \prod_1^k \underbrace{(x-\alpha_i)}_{\text{ordre impair}}\), le produit des \(k\) racines d'ordre impair de \(L_n\)
Considérons \(P = \underbrace{(ax^2+bx+c)}_{\Delta \lt 0} \prod_1^k \underbrace{(x-\beta_i)}_{\text{ordre pair}}\), le produit des racines d'ordre pair de \(L_n\)
Alors ont peut écrire : \(L_n = Q \times P\) et
\( Q \times L_n = Q^2 \times P\) n'a que des racines d'ordre pair et ne change donc pas de signe. En conséquence:
\[\boxed{\langle Q,L_n \rangle = \int_0^{+\infty} \underbrace{Q(x)L_n(x)}_{\text{signe constant}} e^{-x}dx \neq 0}\]

\(Q\) peut être exprimé dans la base \(\big(L_k \big)_{k<n}\): \(Q = \sum\limits_{i=1}^k \lambda_iL_i\)
Et alors comme \(\langle L_n,L_i \rangle = 0 \space \forall i \neq n\) puisque \(\big( L_k \big)_{k \lt n}\) est une base orthogonale.
\[\boxed{\langle L_n,Q \rangle = 0 = \int_0^{+\infty} Q(x)L_n(x) e^{-x}dx }\]
Il y a contradiction pour \(k \lt n\), ce qui nous amène a dire que \(k=n\) et qu'il y a \(n\) racines pour \(L_n\)

\(L_n\) qui est degré \(n\), possède \(n\) racines, et elle sont fatalement toutes d'ordre impair (et même d'ordre 1), et nous avons là toutes les racines de \(L_n\).