Fractions rationnelles

 Soient:  \(\begin{align*}   \begin{cases}& \mathbb {R} [X] \text{, l'ensemble des polynômes à coefficient réels.} \\          & \mathbb {C} [X]  \text{, l'ensemble des polynômes à coefficient complexes.}                                            \end{cases} \end{align*}\) 
 

On appelle fraction rationnelle toute expression de la forme:

\(\begin{align*} F(x) =\frac{P(x)}{Q(x)} \end{align*}\) avec \(\begin{cases} P \in \mathbb {R} [X] \text{ et } Q \in \mathbb {R} [X] \text{, et }Q(x) \not= 0 \\ \text{ou} \\ P \in \mathbb{C}[X] \text{ et }Q \in \mathbb {C} [X]\text{, et }Q(x) \not= 0\end{cases}  \)

L'ensemble des fractions rationnelles se note:

• \(\mathbb R(X)\) si les coefficients sont dans \(\mathbb R\)
• \(\mathbb C(X)\) si les coefficients sont dans \(\mathbb C\)

On remarquera l'écriture avec des parenthèses et non avec des crochets......

Ecrire \(F(x) \in \mathbb R(X)\) signifie que \(F(x)\) est une fraction rationnelle à coefficient dans \(\mathbb R\).
De même \(F(x) \in \mathbb C(X)\) est fraction rationnelle à coefficients complexes.

Une fraction rationnelle peut être décomposée en éléments simples. C'est éléments simples peuvent être de différentes formes:
\[\begin{align*} &  I= \frac{1}{P(x)} = \int \frac{1}{ax+b} && I  = \frac{1}{P(x)} = \int \frac{1}{ax²+bx+c}dx && I = \frac{Q(x)}{P(x)} = \int \frac{dx+e}{ax²+bx+c}dx  \end{align*}\]