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Trigonométrie

En Première

La trigonométrie est abordée en tant que notions en classe de 1ère. Les définitions sont simples. On découvre le cercle trigonométrique, les angles exprimés en radians, les principales valeurs des angles principaux et la valeur de leur sinus et cosinus. 

La trigonométrie est vue aussi en terminale sous la forme de fonctions trigonométriques. Cette partie figure dans le chapitre sur les fonctions usuelles / fonctions circulaires / fonctions trigonométriques.

La notion de cosinus peut parfois être introduite par la notion de Produit Scalaire de la façon suivante: pour tous vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) non nuls:
\(\vec u.\vec v =  \lVert \vec u \rVert \times \lVert \vec v \rVert \times cos(\vec u, \vec v) \) qui correspond à la projection d'un vecteur sur un autre vecteur.

 

1 - Définition 1:

Le plan est muni d'un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\)

  • Le cercle trigonométrique est un cercle de centre \(O\), de rayon 1, orienté dans le sens direct.
  • Par enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique \(\mathcal C\), on peut associer à tout réel \(x\) un unique point \(M\)de \(\mathcal C\)
  • Soit \(x\) un réel et \(M\) un point du cercle trigonométrique repéré par \(x\)
On dit que \(x\) est une mesure en radians de l'angle orienté \((\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})\)

 

Par convention:

  • on note alors \((\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM}) = x + 2k \pi\) ou \(k\) est un entier relatif (\(k \in \mathbb Z\))
  • on dit que \((\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})\) a pour mesure \(x\) radians à \(2 \pi\) prés
  • la mesure principale d'un angle orienté est l'unique mesure de cet angle appartenant à l'intervalle \(]-\pi;\pi]\) 

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2 - Définition 2

Soit \(x\) une mesure en radians de l'angle orienté \((\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})\) où \(M\) est un point du cercle trigonométrique:

  • le cosinus de \(x\), noté \(cos x\), est l'abscisse du point \(M\)
  • le sinus de \(x\), noté \(sin x\), est l'ordonnée du point \(M\)

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3 - Propriétés:

\(\forall \space x \in \mathbb R\) et \( \forall \space k  \in \in \mathbb Z\) on a :

  • \(-1 \leq cos x \leq 1\) et \(-1 \leq sin x \leq 1\)
    On retrouve ici le rayon du cercle trigonométrique

  • \(cos^2x + sin^2x =1\)
    c'est l'identité trigonométrique

  • \(cos(x+2k\pi)=cosx\) et \(sin(x+2k\pi)=sinx\)
    on dit que les fonctions \(cos\) et \(sin\) sont \(2\pi\) périodiques

  • \(cos(-x)=cos x \)
    on dit que la fonction \(cos \) est paire

  • \(sin(-x)=-sin x \)
    on dit que la fonction \(sin \) est impaire

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4 - Valeurs remarquables:

 

\(\theta\) en deg \(0\) \(30\)  \(45\) \(60\) \(90\)
\(\theta\) en rad \(0\) \(\frac{\pi}{6}\) \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\pi}{3}\) \(\frac{\pi}{2}\)
\(cos\theta\) \(1\) \(\frac{\sqrt3}{2}\) \(\frac{\sqrt 2}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(0\)
\(sin\theta\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt 2}{2}\) \(\frac{\sqrt 3}{2}\)

\(1 \)
  • On remarque une symétrie entre les valeurs de \(cos\) et \(sin\)
  • On peut adopter le moyen mnémotechnique suivant: 
\(\theta\) en rad \(0\) \(\frac{\pi}{6}\) \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\pi}{3}\) \(\frac{\pi}{2}\)
\(sin\theta\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt 2}{2}\) \(\frac{\sqrt 3}{2}\)

\(1 \)
\(sin\theta\) \(\frac{ \boxed{\sqrt{0}}}{2}=0\) \(\frac{\boxed{\sqrt 1}}{2} = \frac{1}{2}\) \(\frac{\boxed{\sqrt 2}}{2}\) \(\frac{ \boxed{\sqrt 3}}{2}\)

\(\frac{\boxed{\sqrt 4}}{2}= \frac{2}{2}=1\)

 

Démonstrations:

Pour les valeurs \(\theta=\pi/2\) et \(\theta=\pi/2\), les résultats sont évidents

\(\theta=\pi/4\)Dans ce ca D

Ici, nous avons un triangle isocèle, et donc \(sin(\pi/4) =cos(\pi/4)\) .
\(cos^2(\pi/4)+sin^2 (\pi/4)=1 \\
2cos^2(\pi/4) = 1 \\
cos^2(\pi/4) = 1/2 \\
cos(\pi/4) = \sqrt{1/2} = \sqrt 2/2 \)

\[\boxed{sin(\pi/4)=\frac{\sqrt 2}{2} \\ cos(\pi/4)=\frac{\sqrt 2}{2}}\]

\(\theta=\pi/6\)

Ici, nous avons un triangle équilatéral de côté 1 . Donc \(CD=1/2=sin(\pi/6)\),
\(cos^2(\pi/6)+sin^2(\pi/6)=1 \\
cos^2(\pi/6) + 1/4 = 1 \\
cos^2(\pi/6) = 3/4 \\
cos^2(\pi/6) = \sqrt 3/2\)

\[\boxed{sin(\pi/6)=\frac{1}{2} \\ cos(\pi/6)=\frac{\sqrt 3}{2}}\]

\(\theta=\pi/3\)

En suivant le même raisonnement que pour \(\pi/6\), on obtient :
\(cos(\pi/6)= 1/2\) 

 

 

\[\boxed{sin(\pi/6)=\frac{\sqrt 3}{2} \\ cos(\pi/6)=\frac{1}{2}}\]

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5 - Exercices types

Les exercices types permettent de se familiariser avec la notion de radians, le cercle trigonométrique, et quelques propriétés.

  • Tableaux à compléter: conversion deg\leftrightarrow\(rad et rad\leftrightarrow\)deg
  • placer les angles sur le cercle trigonométrique (\(\frac{7\pi}{6},\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{3}, \cdots\)) 
  • déterminer les mesures principales de \(\frac{23\pi}{2},\frac{181\pi}{4},\frac{37\pi}{3},\dots\)
  • Déterminer \(\theta\) en fonction des valeurs des sinus et cosinus: \(cos\theta=1/2, sin\theta=\sqrt3/2 \rightarrow \theta =\) ??
  • résoudre dans \(\mathbb R : cosx =\sqrt3/2\).
  • exercice magnant des additions d'angle (on pourra donner au préalable les formules d'addition et de duplication)   

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