Méthodes de calcul

1 - Connaissances nécessaires

Afin de trouver des primitives ou de calculer des intégrales, il y a un socle de connaissances à avoir.
Dans les exercices proposés, les compétences et connaissances sont présentées de façon éparse.

Ainsi, on peut ne considérer qu'une partie de l'exercice en fonction de la compétence à travailler.

Voici la liste des connaissances:

Les dérivée et notamment la dérivée d'une fonction composée (chain rule)
Les primitives des fonctions usuelles
la technique du changement de variable
connaitre quelques grands standards
Intégration par partie
Bien connaitre les formules de trigonoméyrie
savoir faire un changement de variable trigonométrique
Maitriser la division des polynômes et la décomposition en éléments simples
connaitre les régles de Bioche

2 - Méthode et différents cas

Je vous propose ici une méthode pour savoir comment faire, ainsi que quelques exemple:

Intégrale de fonctions composées:
- vérifier si en identifiant une fonction $u$ , sa dérivée $u'$ (à des coefficient prés) n 'est pas aussi présente dans l intégrale à calculer.
- Dans ce cas,
  - réécrire la fonction à primitiver pour se rapprocher la forme de dérivée de fonction composée connue
  - essayer par un changement de variable et faire apparaître les constantes manquantes
Changement de variable trigonométrique
- si présence de $\sqrt{1-x²}$, alors $u = cosx$ ou $u = sinx$ puis identité trigo pour retirer la racine
- si présence de $\sqrt{1+x²}$, alors $u=tan x $ car$ \sqrt{1+x²}=secx$
Fraction rationnelle
- division euclidienne
- décomposition en éléments simples
Fraction rationnelle trigonométrique
- règle de Bioche
- et décomposition en éléments simple
si on peut primitiver / dériver facilement les 2 fonctions d'un produit de fonctions
- Intégration par parties
- On peut aussi tenter de dire $f(x) = 1 \times f(x)$ puis faire une IPP : exemple pour intégrer $lnx$ ou $arctan x$
sommes de radicaux
- multiplier par le conjugué
Toutes combinaisons des méthodes ci dessus
Si rien de tout cela n'est possible dans une fonction composée, essayer le changement de variable $u =f(x)$

3 - 5 exemples de fonctions composées

Exemple 1: $\begin{align} I & = \int^{1}_{0} x.e^{2x²+1}.dx\end{align}$

$\begin{align*} I & = \int^{1}_{0} x.e^{2x²+1}.dx \\
&\text{on sait que } \begin{cases} u = 2x²-1 \Rightarrow u'=4x \\ \bigg( e^u\bigg)'=u'.e^u \end{cases} \\
I & = \int^{1}_{0} \overbrace{x}^{\text{presque }u'}.e^{\overbrace{2x²+1}^u}.dx \\
& = \int^{1}_{0} \frac{1}{4} \overbrace{4x}^{u'}.e^{\overbrace{2x²+1}^u}.dx \\
& = \frac{1}{4} \int^{1}_{0} \overbrace{4x}^{u'}.e^{\overbrace{2x²+1}^u}.dx \\
& = \frac{1}{4} \bigg[ e^{2x²+1}\bigg]_0^1 \\
& = \frac{1}{4} \big( e^3 - e \big)
\end{align*}$

Exemple 2 :$ \begin{align} I & = \int^{2}_{1} \frac{x}{x²+3}dx \\ \end{align}$

$\begin{align*} I & = \int^{2}_{1} \frac{x}{x²+3}dx \\
&\text{on sait que } \begin{cases} u = x²+3 \Rightarrow u'=2x \\ \bigg( lnu\bigg)'=\frac{u'}{u} \end{cases} \\
I & = \int^{2}_{1} \frac{\overbrace{x}^{\text{presque }u'}}{\underbrace{x²+3}_u}dx \\
& = \int^{2}_{1}\frac{1}{2} \frac{\overbrace{2x}^{u'}}{\underbrace{x²+3}_u}dx \\
& =\frac{1}{2} \int^{2}_{1} \frac{\overbrace{2x}^{u'}}{\underbrace{x²+3}_u}dx \\
& = \frac{1}{2} \bigg[ ln \lvert x²+3 \rvert \bigg]_1^2 \\
& = \frac{1}{2} \bigg[ (ln x²+3) \bigg]_1^2 \space \space \text{car }x²+3 \geq 0 \\
& = ln\sqrt{\frac{7}{4}}
\end{align*}$

Exemple 3: $\begin{align} I & = \int^{1}_{0} (x+2)(x²+4x)²dx \end{align}$

$\begin{align*} I & = \int^{1}_{0} (x+2)(x²+4x)²dx \\
& \text{Or on sait que } \begin{cases} \big( u^n \big) '=n.u'.n^{n-1} \\ u= x²+4x \Rightarrow u'= 2x+4=2(x+2) \end{cases} \\
I & = \int^{1}_{0} (\overbrace{x+2}^{\text{presque } u'})(\overbrace{x²+4x}^{u})²dx \\
& = \int^{1}_{0} \frac{1}{2} \times \overbrace{2 (x+2}^{u'})(\overbrace{x²+4x}^{u})²dx \\
& =\frac{1}{2} \int^{1}_{0} \overbrace{2 (x+2}^{u'})(\overbrace{x²+4x}^{u})²dx \\
& =\frac{1}{2} \int^{1}_{0}\frac{1}{3} \overbrace{3}^n \times \overbrace{2 (x+2}^{u'})(\overbrace{x²+4x}^{u})²dx \\
& =\frac{1}{6} \int^{1}_{0} \overbrace{3}^n \times \overbrace{2 (x+2}^{u'})(\overbrace{x²+4x}^{u})²dx \\
& = \frac{1}{6} \bigg[ (x²+4x)^3 \bigg]_{0}^{1} \\
& = \frac{125}{6}
\end{align*}$

Exemple 4: $\begin{align} I & = \int^{1}_{0} \frac{1}{(x+2)²}dx \end{align}$

$\begin{align*} I & = \int^{1}_{0} \frac{1}{(x+2)²}dx \\
& \text{Or on sait que } \begin{cases} u=x+2 \Rightarrow u'=1 \\ \bigg(\frac{1}{u} \bigg)'=\frac{-u'}{u² }\end{cases}\\
I & = \int^{1}_{0} \frac{\overbrace{1}^{\text{presque }u'}}{(\underbrace{x+2}_u)²}dx \\
\\
& = -\big[ \frac{1}{x+2}\big]_0^1= \frac{1}{6}
\end{align*}$

Exemple 5:$\begin{align} I & = \int^{1}_{0} \frac{1}{\sqrt{x+1}}dx \end{align}$

$\begin{align*} I & = \int^{1}_{0} \frac{1}{\sqrt{x+1}}dx \\
\text{On sait que } \begin{cases} u = x+1 \Rightarrow u'=1 \end{cases} \\
I & = \int^{3}_{1} \frac{\overbrace{1}^{u'}}{\sqrt{\underbrace{x+1}_{u}}}dx \\
& = \int^{3}_{1} 2 \times \frac{\overbrace{1}^{u'}}{2 \times \sqrt{\underbrace{x+1}_{u}}}dx \\
& = 2 \int^{3}_{1} \frac{\overbrace{1}^{u'}}{2 \times \sqrt{\underbrace{x+1}_{u}}}dx \\
& = 2 \bigg[ \sqrt{x+1} \bigg]^3_1 \\
& = 4-2sqrt2
\end{align*}$

Changement de variable

$\begin {align} I & = \int e^{\sqrt{x}}.dx \end {align}$

Il n' y a pas grand chose d'autre à faire que de poser un changement de variables $u=\sqrt x$

$\begin {align*} & \begin{cases} u=\sqrt x \Rightarrow u²=x \\ 2u.du = dx \end{cases} \\ \\
I & = \int e^{\sqrt{x}}.dx \\
& = \int e^u.2u.du \\
& = 2\int u.e^u.du
\end {align*}$

Nous avons un produit de 2 fonctions facilement primitivable ou dérivable.

Il ne reste plus qu'a faire une intégration par parties pour trouver le résultat.

Je vous laisse faire le calcul ........

Fraction rationnelle

$\begin {align} I & = \int \frac{2x+3}{x²-5x+4}dx \end {align}$

Nous sommes dans le cas d'une fraction rationnelle $ \frac{P}{Q}$
$deg(P) <deg(Q)$
Le dénominateur est factorisable
cela nous conduit vers une décomposition en éléments simples

$\begin{align*} I & = \int \frac{2x+3}{x²-5x+4}dx \\
& = \int \frac{2x+3}{(x-1)(x-4)}dx \\
& = \int \frac{-5/3}{x-1}dx+ \int \frac{11/3}{x-4}dx \end{align*}$

Je vous laisse terminer les calculs.......

Changement de variable trigonométrique et trigonométrie

$\begin {align} I & = \int sec^4x.dx \end {align}$

En première remarque: $\int sec^3x.dx$ peut se faire en intégrant par parties.

Par changement de variable $ u=secx$, on obtiendrait du $u$ mais aussi d'autre éléments trigonométrique en calculant $dx$
En intégrant par parties , on obtiendrait aussi des formes trigonométriques compliquées

Il nous reste les identités trigonométrique.

On peut essayer de repérer quelle identité trigonométrique on pourrait faire apparaitre. Dans notre cas, on sait que

$sec²x=1+tan²x$
la dérivée de $tan$ amène du $sec$.

Alors séparons cette expression en 2 parties:

$\begin {align*} I & = \int sec^4x.dx \\
& = \int sec²x.sec²x.dx \\
& = \int (1+tan²)²sec²x \\
\end {align*}$
on procède ensuite a un changement de variable: $ \begin{cases} u =tanx \\ du = sec²x \end{cases}$

$\begin {align*} I & = \int (1+u²)du \\\end {align*}$

Je vous laisse terminer les calculs

Changement de variable trigonométrique

Intégration par parties

$\begin {align} I & \int \frac{lnx}{x^3}dx \end {align}$

$\begin {align*} I & = \int \frac{lnx}{x^3}dx \\
& = \int x^{-3}lnx.dx \end {align*}$
Nous avons ici le produit de 2 fonction: $lnx$ et $x^3$ facilement intégrables ou dérivables et je sais :

intégrer $ x^3$
différentier $lnx$
intégrer $lnx$ n 'est jamais une bonne idée: en effet, on amènerait de la complexité puisque la primitive de $lnx$ contient elle même du $lnx$, le problème posé par $ln x$ ne serait pas résolu

	D		I
$+$	$ln x$		$x^{-3}$
		$\searrow$
$-$	$\frac{1}{x}$	$\rightarrow$	$-\frac{1}{2}x^{-2}$

$\begin {align*} I & = \int x^{-3}lnx.dx \\
& = -\frac{1}{2}x^{-2}lnx +\int \frac{1}{2}x^{-3}.dx \\
& = -\frac{1}{2}x^{-2}lnx +\frac{1}{2}\int x^{-3}.dx \\
& =- \frac{1}{2}x^{-2}lnx +\frac{1}{2} \times -\frac{1}{2}x^{-2} \\
& =- \frac{1}{2}x^{-2} (lnx +\frac{1}{2}) \\
\end {align*}$

De façon générale, toutes les formes de $x^\alpha \times lnx$ s'intègrent par parties.

Sommes de radicaux

$\begin {align} I & = \int \frac{1}{\sqrt{x+1}- \sqrt x}dx \end {align}$

$\begin {align*} I & = \int \frac{1}{\sqrt{x+1}- \sqrt x}dx \end {align*}$

Il semble qu'un changement de variable ne nous avancerait guère. En effet, on garderait la différence entre 2 radicaux.

On appliquer un réflexe normalement acquis depuis la première: En cas de somme de radicaux, on peut essayer en multipliant\divisant par le conjugué. Ainsi:

$\begin{align*} I & = \int \frac{1}{\sqrt{x+1}- \sqrt x}dx \\
& = \int \frac{ 1}{\sqrt{x+1}- \sqrt x} \times \frac{\sqrt{x+1}+ \sqrt x}{\sqrt{x+1} + \sqrt x} dx\\
& = \int \frac{\sqrt{x+1}+ \sqrt x}{(\sqrt{x+1})² - (\sqrt x)²} dx \\
& = \int \frac{\sqrt{x+1}+ \sqrt x}{x+1 - x} dx \\
& = \int (\sqrt{x+1}+ \sqrt x)dx \\
& = \int (x+1)^{\frac{1}{2}}.dx+ \int (x)^{\frac{1}{2}}.dx
\end {align*}$

Je vous laisse terminer le calcul.......

Exemple 4 :$\begin {align} & \int x².tan(x^3).dx \end {align}$

$\begin {align*} I & = \int x².tan(x^3).dx \end {align*}$

Dans ce cas, nous avons un terme en $x^3$ dont la dérivée nous donnera un terme en $x²$. Un changement de variable semble indiqué.

$\begin{align*} & \begin{cases} u =x^3 \\ du = 3x².dx \Rightarrow x².dx=du/3 \end{cases} \\ \\
I & = \frac{1}{3} \int tan(u).du \end{align*}$

Pour mémoire $ \int tanu.du = ln \lvert sec (u) \rvert +C$

Pour le démontrer, on cherche une identité numérique ($ \begin{align*} & tan u = \frac{sin u}{cos u} \end{align*}$) et on fait à nouveau un changement de variable: $v = cos (u)$ .....
Je vous laisse faire les calculs ......

Exemple 5 :$\begin{align} & \int \frac{1}{(1+x^2)^{5/2}}dx \end{align}$

$\begin{align*} I & = \int \frac{1}{(1+x^2)^{5/2}}dx \end{align*}$

Nous avons ici une forme en $1+x²$ alors on peut utiliser

un changement de variable trigonométrique:
- $x= tan \theta$
des identités trigonométriques
- $1+tan² \theta = sec² \theta$

De plus, $dx = sec² \theta .d \theta$

$\begin{align*} I & = \int \frac{1}{(1+x^2)^{5/2}}dx \\
& = \int \frac{1}{(1+tan²\theta)^{5/2}}.sec²\theta.d\theta \\
& = \int \frac{1}{(sec²\theta)^{5/2}}.sec²\theta.d\theta \\
& = \int \frac{1}{(sec\theta)^5}.sec²\theta.d\theta \\
& = \int \frac{1}{sec^3\theta}d\theta \\
\end{align*}$

Je vous laisse terminer le calcul

Exemple 6 :$\begin {align} & \int e^{\sqrt{x}}.dx \end {align}$

$\begin {align*} I & \int e^{\sqrt{x}}.dx \end {align*}$

Il n' y a pas grand chose d'autre à faire que de poser un changement de variables $u=\sqrt x$

$\begin {align*} & \begin{cases} u=\sqrt x \Rightarrow u²=x \\ 2u.du = dx \end{cases} \\ \\
I & = \int e^{\sqrt{x}}.dx \\
& = \int 2ue^udu
\end {align*}$

Il ne reste plus qu'a faire une intégration par parties pour trouver le résultat.

Exemple 7 :$\begin {align} & \int sin²x.dx \end {align}$

$\begin {align*} I & = \int sin²x.dx \end {align*}$

On se rend bien compte ici que:

il ne sert a rien d'utiliser $sin²x+cos²x=1$, on se retrouverait avec le même soucis avec $cos$ au lieu $sin$
pas de chzangement de variable $u=sinx$, en dérivant cette fonction pour remplacer $dx$, on ferait apparaitre du $cos x$
le mieux est encore de linéariser $sin²x = \frac{1-cos2x}{2}$

$\begin{align*} I & = \int sin²x.dx \\
& = \int \frac{1-cos2x}{2}dx \\
& = \frac{1}{2} \int(1-cos2x)dx \\
& = \frac{1}{2} \int dx - \frac{1}{2} \int cos2x dx \end {align*}$

Je vous laisse terminer le calcul avec un changement de variable $u=2x$ pour la primitive de $\int cos2x.dx$

n {align} & \int \frac{e^x}{sec x}dx \end {align}\(

\)\begin {align*} I & = \int \frac{e^x}{sec x}dx \\
& = \int e^x.cosx.dx \\
\end {align*}\(

on sait intégrer et dériver les 2 fonctions \)e^x$ et $cosx\(

On peut donc faire une intégration par parties. On remarque même qu'en intégrant 2 fois par parties, nous aurons à nouveau une expression du type \)e^x.cosx\(

Cette situation est trés fréquente. Cette méthode est à bien retenir

\)\begin {align*} I & = \int \frac{e^x}{sec x}dx \\
& = \int e^x.cosx.dx \\ & = e^x.cosx -e^x.sinx -\int e^x.cosx.dx \\
I & = \int e^x.cosx.dx \\ & = e^x.sinx -e^x.cosx -I \\
\Rightarrow & 2I=e^x.sinx -e^x.cosx \\
I & = \frac{1}{2}[e^x.sinx -e^x.cosx]
\end {align*}\(

Exemple 10 :\)\begin {align} & \int \frac{1}{1 +cos x}dx \end {align}\(

\)\begin {align*} I & = \int \frac{1}{1 +cos x}dx \end {align*}\(

Nous ne pouvons rien faire de\)1+cosx\(: nous ne connaissons pas de formule trigonométrique nous permettant de jongler avec cette élément.

En revanche, le dénominateur était du style \)1-cos²x$, alors on pourrait le transformer en $sin²x\(.

Essayons de multiplier par le conjugué

\)\begin {align*} I & = \int \frac{1}{1 +cos x}dx \\
& = \int \frac{1}{1 +cos x} \times \frac{1-cosx}{1-cosx}dx \\
& = \int \frac{1 -cos x}{1 -cos² x} dx \\
& = \int \frac{1 -cos x}{sin²x} dx \\
& = \int \frac{1}{sin²x}dx-\int \frac{cosx}{sinx.sinx}dx \\
& = \int csc² x. dx - \int \frac{1 \times cosx}{sinx.sinx}dx \\
& = \int csc² x. dx - \int cscx.cotx.dx \\
\end {align*}\(

Exemple 11 :\)\begin {align} & \int \frac{x-4}{x^4-1}dx \end {align}\(

\)\begin {align*} I & = \int \frac{x-4}{x^4-1}dx \end {align*}\(

La dérivée du dénominateur \)\ne\( numérateur
fraction rationnelle \) \Rightarrow\( décomposition en éléments simples

\)\begin {align*} I & = \int \frac{x-4}{x^4-1}dx \\
& = \int \frac{x-4}{(x-1)(x+1)(x²+1)}dx \\
& = \int \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x²+1}dx
\end {align*}\(

Je vous laisse terminer le calcul........

Exemple 12 :\)\begin {align} & \int \frac{x²}{\sqrt{1-x²}}dx \end {align}\(

\)\begin {align*} I & = \int \frac{x²}{\sqrt{1-x²}}dx \end {align*}\(

pas de rapport de d'une fonction et de sa dérivée
pas de fraction rationnelle a cause de la racine
pas d'expression conjuguée
\)1-x²\( nous fait pencher pour une substitution trigonométrique
\)x = sin\theta\(

\)\begin {align*} & \begin{cases} x=sin\theta \\ dx = cos\theta.d\theta \end{cases} \\
I & = \int \frac{x²}{\sqrt{1-x²}}dx \\
& = \int \frac{sin² \theta}{\sqrt{1-sin² \theta}} \times cos \theta.d \theta \\
& = \int \frac{sin² \theta}{\cancel{cos \theta}} \times \cancel{cos \theta}.d \theta \\
& = \int sin² \theta.d \theta \\
\end {align*}$

Je vous laisse calculer la suite (voir un des autres exemples de cette page)

Méthodes de calcul

1 - Connaissances nécessaires

2 - Méthode et différents cas

3 - 5 exemples de fonctions composées

Exemple 1: \(\begin{align} I & = \int^{1}_{0} x.e^{2x²+1}.dx\end{align}\)

Exemple 2 :\( \begin{align} I & = \int^{2}_{1} \frac{x}{x²+3}dx \\ \end{align}\)

Exemple 3: \(\begin{align} I & = \int^{1}_{0} (x+2)(x²+4x)²dx \end{align}\)

Exemple 4: \(\begin{align} I & = \int^{1}_{0} \frac{1}{(x+2)²}dx \end{align}\)

Exemple 5:\(\begin{align} I & = \int^{1}_{0} \frac{1}{\sqrt{x+1}}dx \end{align}\)

Changement de variable

\(\begin {align} I & = \int e^{\sqrt{x}}.dx \end {align}\)

Fraction rationnelle

\(\begin {align} I & = \int \frac{2x+3}{x²-5x+4}dx \end {align}\)

Changement de variable trigonométrique et trigonométrie

\(\begin {align} I & = \int sec^4x.dx \end {align}\)

Changement de variable trigonométrique

Intégration par parties

\(\begin {align} I & \int \frac{lnx}{x^3}dx \end {align}\)

Sommes de radicaux

\(\begin {align} I & = \int \frac{1}{\sqrt{x+1}- \sqrt x}dx \end {align}\)

Exemple 4 :\(\begin {align} & \int x².tan(x^3).dx \end {align}\)

Exemple 5 :\(\begin{align} & \int \frac{1}{(1+x^2)^{5/2}}dx \end{align}\)

Exemple 6 :\(\begin {align} & \int e^{\sqrt{x}}.dx \end {align}\)

Exemple 7 :\(\begin {align} & \int sin²x.dx \end {align}\)

n {align} & \int \frac{e^x}{sec x}dx \end {align}\(

Exemple 10 :\)\begin {align} & \int \frac{1}{1 +cos x}dx \end {align}\(

Exemple 11 :\)\begin {align} & \int \frac{x-4}{x^4-1}dx \end {align}\(

Exemple 12 :\)\begin {align} & \int \frac{x²}{\sqrt{1-x²}}dx \end {align}\(

Méthodes de calcul

1 - Connaissances nécessaires

2 - Méthode et différents cas

3 - 5 exemples de fonctions composées

Exemple 1: \(\begin{align*} I & = \int^{1}_{0} x.e^{2x²+1}.dx\end{align*}\)

Exemple 2 :\( \begin{align*} I & = \int^{2}_{1} \frac{x}{x²+3}dx \\ \end{align*}\)

Exemple 3: \(\begin{align*} I & = \int^{1}_{0} (x+2)(x²+4x)²dx \end{align*}\)

Exemple 4: \(\begin{align*} I & = \int^{1}_{0} \frac{1}{(x+2)²}dx \end{align*}\)

Exemple 5:\(\begin{align*} I & = \int^{1}_{0} \frac{1}{\sqrt{x+1}}dx \end{align*}\)

Changement de variable

\(\begin {align*} I & = \int e^{\sqrt{x}}.dx \end {align*}\)

Fraction rationnelle

\(\begin {align*} I & = \int \frac{2x+3}{x²-5x+4}dx \end {align*}\)

Changement de variable trigonométrique et trigonométrie

\(\begin {align*} I & = \int sec^4x.dx \end {align*}\)

Changement de variable trigonométrique

Intégration par parties

\(\begin {align*} I & \int \frac{lnx}{x^3}dx \end {align*}\)

Sommes de radicaux

\(\begin {align*} I & = \int \frac{1}{\sqrt{x+1}- \sqrt x}dx \end {align*}\)

Exemple 4 :\(\begin {align*} & \int x².tan(x^3).dx \end {align*}\)

Exemple 5 :\(\begin{align*} & \int \frac{1}{(1+x^2)^{5/2}}dx \end{align*}\)

Exemple 6 :\(\begin {align*} & \int e^{\sqrt{x}}.dx \end {align*}\)

Exemple 7 :\(\begin {align*} & \int sin²x.dx \end {align*}\)

n {align*} & \int \frac{e^x}{sec x}dx \end {align*}\(

Exemple 10 :\)\begin {align*} & \int \frac{1}{1 +cos x}dx \end {align*}\(

Exemple 11 :\)\begin {align*} & \int \frac{x-4}{x^4-1}dx \end {align*}\(

Exemple 12 :\)\begin {align*} & \int \frac{x²}{\sqrt{1-x²}}dx \end {align*}\(

Exemple 1: \(\begin{align} I & = \int^{1}_{0} x.e^{2x²+1}.dx\end{align}\)

Exemple 2 :\( \begin{align} I & = \int^{2}_{1} \frac{x}{x²+3}dx \\ \end{align}\)

Exemple 3: \(\begin{align} I & = \int^{1}_{0} (x+2)(x²+4x)²dx \end{align}\)

Exemple 4: \(\begin{align} I & = \int^{1}_{0} \frac{1}{(x+2)²}dx \end{align}\)

Exemple 5:\(\begin{align} I & = \int^{1}_{0} \frac{1}{\sqrt{x+1}}dx \end{align}\)

\(\begin {align} I & = \int e^{\sqrt{x}}.dx \end {align}\)

\(\begin {align} I & = \int \frac{2x+3}{x²-5x+4}dx \end {align}\)

\(\begin {align} I & = \int sec^4x.dx \end {align}\)

\(\begin {align} I & \int \frac{lnx}{x^3}dx \end {align}\)

\(\begin {align} I & = \int \frac{1}{\sqrt{x+1}- \sqrt x}dx \end {align}\)

Exemple 4 :\(\begin {align} & \int x².tan(x^3).dx \end {align}\)

Exemple 5 :\(\begin{align} & \int \frac{1}{(1+x^2)^{5/2}}dx \end{align}\)

Exemple 6 :\(\begin {align} & \int e^{\sqrt{x}}.dx \end {align}\)

Exemple 7 :\(\begin {align} & \int sin²x.dx \end {align}\)

n {align} & \int \frac{e^x}{sec x}dx \end {align}\(

Exemple 10 :\)\begin {align} & \int \frac{1}{1 +cos x}dx \end {align}\(

Exemple 11 :\)\begin {align} & \int \frac{x-4}{x^4-1}dx \end {align}\(

Exemple 12 :\)\begin {align} & \int \frac{x²}{\sqrt{1-x²}}dx \end {align}\(