Exponentielle et Logarithme

\[\begin{align*} & I = \int e^xdx && I = \int a^xdx && I = \int \frac{1}{x}dx && I= \int \frac{1}{ax+b} \end{align*}\]

Rappels:

Par définition : \(\begin{align*}\frac{d}{dx}e^x = e^x \end{align*}\)

\(\begin{align*}\frac{d}{dx} ln(x) = \frac{1}{x} \end{align*}\)

En conséquence:

\(\begin{align*}\int e^x = e^x +C \end{align*}\)

\(\begin{align*}\int a^xdx = \frac{a^x}{\ln a} +C \end{align*}\)

\(\begin{align*}\int \frac{1}{x}dx = \ln \lvert x \rvert +C \end{align*}\)

car: \(\begin{align*} a^x =e^{x \ln a} \Rightarrow \frac{d}{dt}e^{x \ln a} = \ln a \times e^{x \ln a} = \ln a \times a^x \end{align*}\)
Donc : \(\begin{align*} \frac{d}{dt} \big(\frac{a^x}{ \ln a} \big) = \frac{\ln a \times a^x}{\ln a} = a^x \end{align*}\)

Exemple: \(\begin{align*} I = \int \frac{1}{3x+1}dx \end{align*}\)

Changer de variable: \(u = 3x+1 \Rightarrow du = 3.dx \Rightarrow dx= du/3\)
\(\begin{align*} I = \int \frac{1}{u} \frac{du}{3} \end{align*}\)

Règle de la combinaisons linéaire:
\(\begin{align*} I & = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du \\
& = \frac{1}{3} \ln \lvert u \rvert +C \\
& = \frac{1}{3} \ln \lvert 3x+1 \rvert +C \end{align*}\)

Généralisation: \(\begin{align*} I = \int \frac{1}{ax+b}dx = \frac{1}{a} \ln \lvert ax+b \rvert + C \end{align*}\)

\(\begin{align*} I & = \int \frac{1}{ax+b}dx = \frac{1}{a} \ln \lvert ax+b \rvert + C \end{align*}\)

Changer de variable:
\(\begin{align*} & u=ax+ b && \Rightarrow du = a dx && \Rightarrow dx=du/a \end{align*}\)

Remplacer:
\(\begin{align*} I & = \int \frac{1}{u} \frac{du}{a} = \frac{1}{a} \int \frac{1}{u} du \end{align*}\)

Appliquer la règle:
\(\begin{align*} I & = \frac{1}{a} \ln \lvert u \rvert + C \end{align*}\)

Remplacer \(u\) par sa valeur \(ax+b\):
\(\begin{align*} I & = \frac{1}{a} \ln \lvert ax+b \rvert + C \end{align*}\)

\[\begin{align*} I & = \int \frac{1}{ax+b}dx = \frac{1}{a} \ln \lvert ax+b \rvert + C \end{align*}\]