Règle des puissances

Rappel sur la dérivation de \(x^n\):
\(\begin{align*} \frac{d}{dt}(x^n)  = ???  \end{align*}\):

• on multiplie par l'exposant  (on arrive a \(n.x\))
• et on diminue l'exposant de \(1\) (on arrive a \(n.x^{n-1}\))
• \( \Rightarrow \begin{align*} \frac{d}{dt}(x^n)  = nx^{n-1}   \end{align*}\):

Pour trouver une primitive, on cherche \(F(x) = \int f(x)dx\) telle que \(F'(x) = f(x)\). Alors faisons le chemin inverse:

• On augmente l'exposant de \(1\) pour arriver à \(x^{n+1}\). Mais si on dérive \(x^{n+1}\), on arrive à \((n+1)x^{n}\). Le facteur \((n+1)\) est de trop.
• Il convient alors de diviser le résultat trouvé ci dessus par \((n+1)\). Ainsi
• \(  \begin{align*} \Rightarrow \int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}   \end{align*}\) et maintenant si on dérive \(\begin{align*} \frac{x^{n+1}}{n+1}\end{align*}\) on arrive bien a \(x^n\)
• Et bien sûr, on n'oublie pas d'ajouter la constante pour avoir une primitive particulière
• \(  \begin{align*} \Rightarrow \int x^ndx  = \frac{x^{n+1}}{n+1}  +C, \space C \in \mathbb R \end{align*}\)

On remarque que ce résultat n'est pas valable pour \(n=-1\) , donc pour \(f(x) = \frac{1}{x}\) 

\[\boxed{\begin{align*}  \forall \space  n \ in \mathbb R  \text{ et } n \neq -1, \\ I = \int x^n dx & = \frac{x^{n+1}}{n+1}  +C, \space C \in \mathbb R  \end{align*}}\]

Pour \(n=-1\): \(\begin{align*} \int x^{-1}dx   = \int \frac{1}{x}dx = \ln \lvert x \rvert +C  \end{align*}\)
Ce cas sera vu de façon plus large dans le chapitre "Exponentielle et logarithme" 

Méthode :

• on rappelle que \(1/x^n\) peut s'écrire \(x^{-n}\)
• augmenter l'exposant de \(1\)
• diviser par le nouvel exposant (il doit être \(\neq\) 0)

Exemple 1:

\(\begin{align*} I   =\int x^4 dx  \end{align*}\)

• Je prends mon \(x\)
  
• j'ajoute \(1\) à l'exposant: \(x^{4+1} = x^5\)
• je divise par le nouvel exposant : \(\frac{x^5}{5}\)
• je rajoute la constante d'intégration

\[I = \frac{x^5}{5} + C\]

\(\begin{align*} I =\int \frac{1}{x²} dx  \end{align*}\)

• \(\begin{align*} I =\int \frac{1}{x²} dx = \int x^{-2}dx  \end{align*}\)
• Je prends mon \(x\)
• j'ajoute \(1\) à l'exposant: \(x^{-2+1}=x^{-1}\)
• je divise par le nouvel exposant: \(\frac{x^{-1}}{-1}\)
• je rajoute la constante d'intégration

\[I = -\frac{1}{x} + C\]

Exemple 3:

Exemple 4:

\(\begin{align*} I   =\int \sqrt x ( x+4) dx  \end{align*}\)

\(\begin{align*} I   & =\int  x^{1/2} ( x+4) dx \\
& = \int x^{3/2}dx + \int 4x^{1/2}dx \\
& = \int x^{3/2}dx +4 \int x^{1/2}dx \end{align*}\)

• J'ajoute \(1\) aux exposants
  \(\begin{align*} I   & =\int x^{3/2+1}dx +4 \int x^{1/2+1}dx \end{align*}\)
  
• Je divise par le nouvel exposant:
  \(\begin{align*} I   & =\int \frac{x^{5/2}}{5/2}dx +4 \int \frac{x^{3/2}}{3/2}dx \end{align*}\)
  
  
• J'ajoute les constantes d'intégration:
  \(\begin{align*} I   & =\frac{2}{5} x^{5/2} + C_1 +4 \times \frac{2}{3}x^{3/2} + C_2\end{align*}\)
  
  
• Je simplifie: 
  \[\begin{align*} I   & =\frac{2}{5} x^{5/2}  + \frac{8}{3}x^{3/2} + C \\ & =\frac{2}{5} \sqrt{x^5} + \frac{8}{3} \sqrt{x^3}+C \end{align*}\]
  

\(\begin{align*} I   =\int \frac{1+x^6}{x^2} dx  \end{align*}\)

\(\begin{align*} I  & =\int \frac{1+x^6}{x^2} dx  \\
& = \int \frac{1}{x^2} dx+ \int \frac{x^6}{x^2}dx \\
& = \int x^{-2}dx +  \int x^4dx\end{align*}\)

• J'ajoute \(1\) aux exposants:
  \(\begin{align*} I  &  = \int x^{-2+1}dx +  \int x^{4+1}dx\end{align*}\)
  
• Je divise par le nouvel exposant:
  \(\begin{align*} I  &  = \int \frac{x^{-1}}{-1}dx +  \int \frac{x^{5}}5dx \end{align*}\)
  
• J'ajoute et je rassemble les constantes d'intégration en une seule:
  \[\begin{align*} I  &  =  \frac{1}{x} + \frac{x^{5}}5 + C \end{align*}\]