P(x) = ax+b

Changer de variable: \(u = 3x+1 \Rightarrow du = 3.dx \Rightarrow dx= du/3\)
\(\begin{align*} I = \int \frac{1}{u} \frac{du}{3}  \end{align*}\)

Règle de la combinaisons linéaire:
\(\begin{align*} I & = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du && = \frac{1}{3} \ln \lvert u \rvert +C \\
& = \frac{1}{3} \ln \lvert 3x+1 \rvert +C \end{align*}\)

Généralisation: \[\begin{align*} &  I= \int \frac{1}{ax+b}dx \end{align*}\]

Cette primitive a déjà été vue dans la partie "Exponentielle et Logarithme". Cependant, nous allos refaire la forme générale

Changement de variable:
\(\begin{align*} & u = ax+b && du = a.dx && dx =du/a  \end{align*}\)

\(\begin{align*}   I & = \int \frac{1}{ax+b}dx = \int  \frac{1}{u}\frac{du}{a} \\
& =\frac{1}{a} \int  \frac{1}{u}du = \frac{1}{a} \ln \vert u \rvert + C \end{align*}\)

\[\begin{align*}   \int \frac{1}{ax+b} = \frac{1}{a} \ln \vert ax+b \rvert + C  \end{align*}\]