Analogie des sinus

Nous connaissons la formule fondamentale:

\(\begin{align*} cosa & = cosb . cosc + sinb . sinc . cos\hat{A}  \\ \\
\Rightarrow cos\hat{A} & =\frac{cosa-cosb . cosc}{sinb . sinc}\end{align*}\)

En utilisant l'identité trigonométrique usuelle:
\(\begin{align*}sin^2\hat{A} &=1-cos^2\hat{A} = 1-\frac{(cosa-cosb . cosc)^2}{sin^2b . sin^2c}  \\&=\frac{sin^2b . sin^2c-(cosa-cosb . cosc)^2}{sin^2b . sin^2c} \\ &=\frac{(1-cos^2b)(1-cos^2c) -(cosa-cosb . cosc)^2}{sin^2b . sin^2c} \\ &=\frac{1-cos^2a-cos^2b-cos^2c+2cosa.cosb.cosc}{sin^2b . sin^2c} \end{align*}\)

En divisant des 2 côté par \(sin^2a\) avec \(sina \neq 0\):
\(\begin{align*} \frac{sin^2\hat{A}}{sin^2a} & =\frac{1-cos^2a-cos^2b-cos^2c+2cosa.cosb.cosc}{sin^2a.sin^2b.sin^2c} \\ \Rightarrow \frac{sin^2\hat{A}}{sin^2a} & =\frac{1-(cos^2a+cos^2b+cos^2c)+2cosa.cosb.cosc}{sin^2a.sin^2b.sin^2c} \end{align*}\)

On remarque que cette formule ne change pas par permutation des quantité \(a\), \(b\), et \(c\) en conséquence, on peut écrire:

\[\begin{align*} \frac{sin^2\hat{A}}{sin^2a}=\frac{sin^2\hat{B}}{sin^2b}=\frac{sin^2\hat{C}}{sin^2c} \end{align*}\]

\(a\), \(b\), \(c\)  sont inférieurs à \(180°\), donc \(sin a\), \(sin b\), \(sin c\), sont positifs. On peut alors écrire:

Attention: cette formule ne fonctionne que si l'on sait si l'angle que l'on cherche est > ou < à 90°. En effet: \(sin \gamma = sin (180 - \gamma)\). Si il y a une ambiguité qui ne peut être levée de façon claire, alors il ne faut pas utiliser cette analogie des sinus.

Par exemple: si \(sin \gamma = 0,954\), alors il y a 2 solutions 

• \(\gamma = 72,55°\) et 
• \(\gamma = 107,44°\)

Si les 2 solutions sont trop proches l'une de l'autre et qu'il devient difficile de les distinguer, il faudra préférer la formule des 4 éléments.