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Une approche généraliste et théorique nous amènerait vers quelque chose de très lourd avec toutes ces lettres.
Je vous propose de réfléchir plutôt en terme de degré de polynôme, et de faire directement un cas pratique:
- numérateur : polynôme de degré 1
- dénominateur : polynôme de degré 2
- Or on sait que la dérivée d'un polynôme de degré 2 est un polynôme de degré 1
La forme semble un peu compliquée, mais cette fraction rationnelle, a quelques facteurs prés au numérateur est de la forme \(u'/u\) , dont la primitive serait \(\ln \vert u \rvert\) puis peut être en fonction des coefficient prés, de la forme \(\frac{1}{ax²+bx+c}\) vu précédemment.
Nous allons travailler sur cette fraction rationnelle pour amener la forme \(u'/u\) en sachant que \(\begin{align*} \frac{d}{dx}(x²+x+1) = 2x+1 \end{align*}\)
\(\begin{align*} I & = \int \frac{3x+2}{x²+x+1}dx = \int \frac{2/3 \times (3x+2)}{2/3 \times (x²+x+1)}dx \\
& = \frac{3}{2} \int \frac{2x +4/3}{x²+x+1}dx = \frac{3}{2} \int \frac{2x +1+1/3}{x²+x+1}dx \\
& = \frac{3}{2} \int \frac{2x +1}{x²+x+1}dx + \frac{3}{2} \int \frac{1/3}{x²+x+1}dx \\
& = \frac{3}{2} \int \frac{2x +1}{x²+x+1}dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x²+x+1}dx \\
& = \frac{3}{2} \int \frac{2x +1}{x²+x+1}dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x+1/2)²-1/4+1}dx \\
& = \frac{3}{2} \int \frac{2x +1}{x²+x+1}dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x+1/2)²+3/4}dx \\
& = \frac{3}{2} \int \frac{2x +1}{x²+x+1}dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x+1/2)²+(\sqrt 3/2)^2}dx \end{align*}\)
Et comme vu précédemment (et si il faut retenir une formule, c 'est bien celle-là): \[ \boxed{ \begin{align*} \int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a} tan^{-1}\big( \frac{x}{a} \big)+C \end{align*} } \]
\(\begin{align*} I & = \frac{3}{2} \ln \lvert x²+x+1\rvert + \frac{1}{2 } \times \frac{2}{\sqrt 3} tan^{-1}(x+\frac{1}{2})\times\frac{2}{\sqrt 3} +C \\
& = \frac{3}{2} \ln \lvert x²+x+1\rvert + \frac{1}{\sqrt 3} tan^{-1} \bigg( \frac{2x+1}{\sqrt 3} \bigg) +C \end{align*}\)
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