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 Nous connaissons la formule fondamentale, appliquons la aux côtés \(a\) et \(c\):
\( \begin{align*} \begin{cases} cosa=cosb.cosc+sinb.sinc.cos\hat{A} \\ cosc = cosa.cosb+sina.sinb.cos\hat{C} \end{cases} \end{align*} \)
Remplaçons \(cosc\) dans la 1ère expression:
\(\begin{align*} cosa&=cosb.(cosa.cosb+sina.sinb.cos\hat{C}) +sinb.sinc.cos\hat{A} \\ &=cosa.cos^2b+cosb.sina.sinb.cos\hat{C}+sinb.sinc.cos\hat{A} \end{align*}\)
En en factorisant par \(cosa\) , puis en utilisant l'identité trigonométrique :
\(\begin{align*} \Rightarrow & cosa.(1-cos^2b) = cosb.sina.sinb.cos\hat{C} + sinb.sinc.cos\hat{A} \\
\Rightarrow & cosa.sin^2b-cosb.sina.sinb.cos\hat{C} = sinb.sinc.cos\hat{A} \end{align*} \)
Puis en simplifiant par \(sin b\):
\( \text{(1): } \Rightarrow \underline{cosa.sinb-cosb.sina.cos\hat{C} =sinc.cos\hat{A}}\) si \( sinb \neq 0 \)
Répétons ce même processus pour 2 autres formules fondamentales:
\( \begin{align*} \begin{cases} cosa=cosb.cosc+sinb.sinc.cos\hat{A} \\ cosb=cosa.cosc+sina.sinc.cos\hat{B} \end{cases} \end{align*}\)
Alors on aura:
\(\text{(2): } \Rightarrow \underline{cosa.sinc-cosc.sina.cos\hat{B} =sinb.cos\hat{A}}\) si \(sinc \neq 0\)
Utilisons maintenant l'analogie des sinus:
\( \begin{align*} \frac{sina}{sin\hat{A}}=\frac{sinc}{sin\hat{C}}=\frac{sinb}{sin\hat{B}} \Rightarrow sin a = \frac{sinc.sin\hat{A}}{sin\hat{C}}=\frac{sinb.sin \hat{A}}{sin\hat{B}} \end{align*} \)
Divisons (1) par la 1ère expression de \( \begin{align*} sina=\frac{sinc.sin\hat{A}}{sin\hat{C}} \end{align*} \)
\(\begin{align*} & cosa.sinb = - cos b . sin a .cos \hat{C} = sin c . cos \hat{A} \\
\Rightarrow & \frac{cosa.sinb}{sina}-\frac{cosb.sina.cos\hat{C}}{sina} =\frac{sinc.cos\hat{A}}{sina} \\
\Rightarrow & cotan a.sinb - cosb.cos\hat{C}=\frac{sinc.cos\hat{A}.sin\hat{C}}{sinc.sin\hat{A}} \\
\Rightarrow & \underline{cotana.sinb = cotan\hat{A}.sin\hat{C}+cosb.cos\hat{C}} \end{align*}\)
Divisons (2) par la 2ème expression \( \begin{align*} sin a = \frac{sinb. sin \hat A}{sin \hat B} \end{align*}\). Alors de même, nous trouvons:
\(\begin{align*} \underline{ cotan a . sin c = cotan \hat A sin \hat B + cos b. cos \hat C } \end{align*}\)
 En utilisant toutes les formules fondamentales, il est possible d'écrire 6 formules des cotangentes, reliant 4 éléments consécutifs. Cette formule contient forcément 2 angles et 2 côtés.
Par exemple dans le triangle suivant, on a :
\[\boxed {cotan a \times sin c = cotan \hat{A} \times sin \hat{B} + cos c \times cos \hat{B}}\]
Il suffira de se rappeler la formule unique suivante:
| \[ C_e \space S_i \space \text{côtés} = C_e \space S_i \space \text{angle} + Cos_i \space Cos_i \] |
avec:
- C = Cotangente = 1/tangente ( cotan(x) = tan(90-x))
- S = Sinus
- Cos = Cosinus
- e = extérieur
- i = intérieur
- les éléments en bout de chaîne (a B c A) sont dits extérieurs (A et a)
- les 2 autres éléments sont dits intérieurs (B et c)
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