P(x) = ax²+bx+c, Delta positif

Soit \(P(x) = x^2-5x+6\) , avec \(\boxed{\Delta \gt 0}\), alors \(P(x)\) admet 2 racines : \(x_1 =2 \) et \(x_2=3 \).
On peut donc écrire \(P(x) = (x-2)(x-3)\) et \(\begin{align*} I= \int \frac{1}{P(x)}dx = \int \frac{1}{(x-2)(x-3)}dx\end{align*}\)

Il convient alors de faire une Décomposition en éléments simples:
\( \begin{align*} &  \frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}  \end{align*}\)
\( \begin{align*} &  \begin{cases}  \times (x-2) \text{ et }   x=2 \Rightarrow A = -1  \\  \times (x-3) \text{ et }x=3 \Rightarrow B = 1 \end{cases} \end{align*}\) On peut remarquer que \(A=-B\).

\( \begin{align*}  I & = \int \big[ \frac{-1}{x-2} + \frac{1}{x-3} \big] dx = \int \frac{1}{x-3} dx - \int \frac{-1}{x-2} dx\end{align*}\) 

Et comme vu précédemment:
\(\begin{align*} I & = \ln \lvert x-3 \rvert - \ln \lvert x-2 \rvert + C  \\ & = \ln \lvert \frac{x-3}{x-2}\rvert +C \end{align*}\) 
On peut remarquer que la "grande racine" est au numérateur, et la "petite racine" est au dénominateur.

Cette méthode permet d'éviter la décomposition en éléments simples. Le but est d'arriver à écrire \(P(x)\) sous la forme  \(\begin{align*} \frac{1}{x²-a²} \end{align*}\) ou sous la forme \(\begin{align*} \frac{1}{x²+a²} \end{align*}\) et de retrouver les primitives suivantes:

• \(\begin{align*} I = \int \frac{1}{x²-a²}dx =\frac{1}{2a} \ln \lvert \frac{x-a}{x+a} \rvert +C \end{align*} \) 
• \(\begin{align*} I = \int \frac{1}{x²+a²}dx =\frac{1}{a} tan^{-1} (\frac{x}{a}) +C \end{align*} \)

\(\begin{align*}P(x) & = x²-5x+6  && = (x-\frac{5}{2})² - (\frac{5}{2})² +6 \\ 
& =  (x-\frac{5}{2})² - \frac{5}{2} + \frac{24}{4}  && =  (x-\frac{5}{2})²  - \frac{1}{4}  \\
& = (x-\frac{5}{2})²  - (\frac{1}{2})² \end{align*}\)

Alors , nous avons 2 voies possibles:

Soit \(P(x)= ax^2 +bx+c\) avec \(a \neq 0\). Mettons \(P(x)\) sous la forme canonique: \(a \big[ \big( x+ \alpha)^2 + \beta \big) \big]\)

\(\begin{align*} P(x) & = ax^2 +bx +c = a   \big[  x^2+\frac{b}{a}x  + \frac{c}{a}   \big]  && = a   \big[  \big(x+\frac{b}{2a}\big)^2 - \big( \frac{b}{2a} \big)^2  + \frac{c}{a}   \big] \\
& = a  \big[  \big(x+\frac{b}{2a}\big)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{4ac}{4a^2}  \big]  && = a  \big[  \big(x+\frac{b}{2a}\big)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a^2}  \big]  \end{align*}\)

\[ \boxed{\begin{align*} P(x)=a  \bigg[  \big(x+\frac{b}{2a}\big)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}  \bigg] \\ \text{avec  } \Delta = b^2-4ac \end{align*} }\]

\( \begin{align*} P(x) & =a  \bigg[  \bigg(x+\frac{b}{2a}\bigg)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}  \bigg] && = a  \bigg[  \bigg(x+\frac{b}{2a}\bigg)^2 - \bigg( \frac{\sqrt{\Delta}^2}{4a^2} \bigg)  \bigg] \\
& = a  \bigg[  \bigg(x+\frac{b}{2a}\bigg)^2 - \bigg( \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \bigg)^2  \bigg] && = a \bigg(x+\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \bigg) \bigg( x+\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \bigg) \\ 
& = a \bigg(x + \frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a} \bigg) \bigg( x+\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}  \bigg) && = a \bigg(x - \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \bigg) \bigg( x-\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}  \bigg) \end{align*} \)

On en conclut que \(P(x)\) a 2 racines: \( \begin{align*} \begin{cases} x_1 = \frac{-b-\sqrt \Delta}{2a} \\ x_2 = \frac{-b+\sqrt \Delta}{2a} \end{cases} \end{align*} \) et  \( \begin{align*} \begin{cases}P(x) = a (x-x_1)(x-x_2) \\ x_1 \lt x_2 \end{cases} \end{align*} \).

On remarque que  \( \begin{align*}x_2-x_1 = -\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} - \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\sqrt \Delta}{a}\end{align*}\)

 \[ \begin{align*}I = \int \frac{1}{a(x-x_1 )(x-x_2)}dx \end{align*}\]

Décomposition en Eléments Simples:

\( \begin{align*} & \frac{1}{(x-x_1)(x-x_2)} && = \frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2} \\ \\
= & \frac{A(x-x_2) + B(x-x_1)}{(x-x_1)(x-x_2)} && = \frac{x(A+B)- (Ax_2+Bx_1)}{(x-x_1)(x-x_2)} \\ \\
 \Rightarrow & \begin{cases} A+B = 0\\ - (Ax_2+Bx_1)=1 \end{cases} && \Rightarrow \begin{cases} A = -B\\ Ax_2-Ax_1=-1 \end{cases} \\
 \Rightarrow & \begin{cases} A = -B\\ A(x_2-x_1)=-1 \end{cases} && \Rightarrow \begin{cases} B =  \frac{a}{\sqrt \Delta} \\ A= \frac{-a}{\sqrt \Delta} \end{cases} \end{align*}\)

On remarque que \(A=-B\)

\( \begin{align*}  I & = \int \frac{1}{a(x-x_1 )(x-x_2)}dx && = \frac{1}{a} \int  \bigg(\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2} \bigg) dx \\ 
& = \frac{1}{a} \int \bigg( \frac{a}{\sqrt \Delta} \frac{1}{x-x_2}- \frac{a}{\sqrt \Delta}\frac{1}{x-x_1} \bigg) dx && = \frac{1}{\sqrt \Delta} \int \bigg( \frac{1}{x-x_2}- \frac{1}{x-x_1} \bigg) dx \\
& = \frac{1}{\sqrt \Delta} \bigg[\ln \lvert x-x_2 \rvert -\ln \lvert x-x_1 \rvert  \bigg] +C && =  \frac{1}{\sqrt \Delta} \ln \lvert \frac{x-x_2}{ x-x_1} \rvert  +C  \end{align*}\)

Si \( \Delta \gt 0 \) , \(x_1\) et \(x_2\) solutions de \(P(x)\)
\[ \boxed{ \begin{align*}  \int \frac{1}{a(x-x_1 )(x-x_2)}dx =  \frac{1}{\sqrt \Delta} \ln \lvert \frac{x-x_2}{ x-x_1} \rvert  +C   \end{align*}  }\]

\(\begin{align*} I & =  \frac{1}{\sqrt \Delta} \ln \lvert \frac{x-\frac{-b+\sqrt \Delta}{2a}x}{ x-\frac{-b-\sqrt \Delta}{2a}} \rvert  +C && =  \frac{1}{\sqrt \Delta} \ln \lvert \frac{2ax+b-\sqrt \Delta}{ 2ax+b+\sqrt \Delta} \rvert  +C   \end{align*}\)

Encore une fois , cette dernière formule n'a que peu d'intérêt, si ce n'est celui de la démonstration par calcul littéral. En revanche , il faut retenir la forme finale, et la démarche pour y arriver. A chaque fois il faudra suivre la méthode:

• trouver les racines de \(P(x)\), et donc bien connaître les méthode de résolution d'une équation du 2nd degré
• faire une décomposition en éléments simple et donc bien connaître la technique
• faire l'intégration de chaque élément pour arriver à la forme finale