Changement de variable

Rappel sur la dérivation de \((f \circ g)(x) \) ou \( f(\big[ g(x)\big])\)

\(\begin{align*}  \bigg(f \circ g)(x)  \bigg)'= \bigg(f(\big[ g(x)\big]) \bigg)' = f' \big[ g(x)\big] \times g'(x) \end{align*}\)

Par exemple :\(\big[tan(x^4)\big]' = \underbrace{4x^3}_{g'} \times \underbrace{sec²(x^4)}_{f'(g)}\)

• \([tan ]' = sec²\)
• \([x^4]' = 4x^3\)
• on dérive la fonction et on garde l'opérande
  on multiplie par la dérivée de l'opérande

Pour calculer \(\begin{align*}I = \int_a^b  f( \underbrace{\big[ g(x)\big]}) \times \underbrace{g'(x)} dx \end{align*}\) alors il faut remarquer que:

• l'intégrande comprend l'opérande de la fonction \(f\) - c 'est à dire \(g(x)\) 
• l'intégrande contient aussi la dérivée de \(g \) - c 'est à dire \(g'\)

Et dans ce cas, le calcul par changement de variable est la voie.

Posons:

\(\begin{align*} \begin{cases} u =g(x) \\ du = g'(x)dx \\ dx= \frac{du}{g'(x)} \end{cases} \end{align*}\) et aux bornes \(\begin{align*} \begin{cases} u \xrightarrow{x \rightarrow a} c \\ \\ u \xrightarrow{x \rightarrow b} d \end{cases}  \end{align*}\)

et en conséquence:  \(\begin{align*} I  = \int_{x=a}^{x=b}   f( \underbrace{\big[ g(x)\big]}_{u}) \times \underbrace{g'(x) dx}_{du}  \\ & = \int_{u=c}^{u=d}   f(u) \times du   \\  = \int_{u=u(a)}^{u=u(b)}  f(u) \times du  = F(u) + C = F \bigg[ g(x) \bigg] + C \end{align*}\)

\[ \boxed{ \begin{align*} I = \int_a^b  f( \underbrace{\big[ g(x)\big]}) \times & \underbrace{g'(x)} dx \\ 
\begin{cases} u =g(x) \\ du = g'(x)dx \\ dx= \frac{du}{g'(x)} \end{cases}  \space \space \space & \space \space \space
\begin{cases} u \xrightarrow{x \rightarrow a} c \\ \\ u \xrightarrow{x \rightarrow b} d \end{cases} \\
I  = \int_{u=u(a)}^{u=u(b)}  f(u) \times du  = & F(u) + C = F \bigg[ g(x) \bigg] + C  \end{align*} }\]

On peut aussi remarquer dans notre exemple que :
\(\begin{align*} & \int 4x^3sec²(x^4)dx && = \int g'(x) \times f'(g(x)) .dx \\ & && \text{ avec } f' = tan  \text{ et } g=4x^3 \\  & && = f(g(x) =  tan(x^4)+C \end{align*}\)

Le changement de variable nous aidera à voir un peu toutes ces "simplifications." Avec un peu d 'entrainement et d'habitude, certains changement de variable vous semblerons évidents et vous pourrez même les faire de tête!!

On remarque que \(x\), polynôme du 1er degré, est quasi une dérivée de \((x²+1)\) polynôme du 2nd degré. Pour être exact, \(x\) est la moitié de la dérivée de \(x²+1\) et nous avons une forme : \(\begin{align*} I = \int\frac {1}{2} g'(x) f[g(x)] dx \end{align*}\) avec \(g(x) = x²+1\)

Changement de variable intéressant.
Posons:

\( u =(x²+1)\)  et   \(\begin{align*}du = 2x.dx \Rightarrow       x.dx= \frac{du}{2} \end{align*}\)  

Remplacer les valeurs dans l'intégrale initiale:

\(\begin{align*} I = \int (\underbrace{x²+1}_{u})^5 \underbrace{x.dx}_{du/2} \\
 = \int u^5 \frac{du}{2} \end{align*}\)

Appliquer les règles de la combinaison linéaire, des puissances, et ajouter une constante d'intégration:
\(\begin{align*} I & = \frac{1}{2} \times \frac{u^6}{6} +C \\ & =  \frac{1}{12} u^6 +C \end{align*}\)

Remplacer \(u\) par sa valeur \(x²+1\) pour revenir à une primitive dépendant de \(x\), comme dans le calcul demandé.

\[\begin{align*} I = \frac{1}{12} \times (x²+1)^6  +C \end{align*}\]

Si nous avions des bornes à l 'intégrale, le résultat recherché est un nombre, par exemple :
\(\begin{align*} I = \int_0^1 (x²+1)^5 x.dx  \end{align*}\),
alors le changement de variable reste le même mais il faut "gérer" les bornes:

\( u \xrightarrow{x=0}1\)     et     \( u \xrightarrow{x=1}2\), et

 
\(\begin{align*} I & = \int_{x=0}^{x=1} (x²+1)^5 x.dx \\ & = \int_{u=1}^{u=2}  u^5 \frac{du}{2} \\ & = \frac{1}{12} \big[ u^6 \big]_1^2 = \frac{1}{12}(2^6-1^6) \\& = \frac{63}{12} \end{align*}\)

Il n'y a plus à revenir avec un résultat en \(x\) puisque le résultat recherché est un nombre.