Fonctions circulaires (sin, cos, tan)

\[\begin{align*} I = \int f(cos(x)dx && I=\int f(sinx)dx && I=\int f(tanx)dx \end{align*}\]

Tout d'abord, il faut bien connaitre ses formules de trigonométrie, en priorité:

l'identité trigonométrique : \(cos²t + sin²t = 1\)
la duplication des angles: \(cos(2a) = ??\), \(cos(2b)=?? \)
les angles moitiés
etc... etc....

Rappel sur la dérivation:

\[\begin{align*} \frac{d}{dt}sint=cost\end{align*}\]

\[\begin{align*} \frac{d}{dt}cost=-sint\end{align*}\]

\[\begin{align*} \frac{d}{dt}tant & =1+tan² t \\ & = \frac{1}{cos²}t \\ & = sec²t \end{align*}\]

En conséquence:

\[\begin{align*} \int cost.dt=sint +C\end{align*}\]

\[\begin{align*} \int sint.dt=-cost +C\end{align*}\]

\[\begin{align*} \int sec²t.dt=tan t +C \\ \int \frac{1}{cos²}t.dt = tan t +C \end{align*} \]

*Exemple 1: \(\begin{align} I = \int sin(3x)dx \end{align}\)*
Utiliser le changement de variable : \(u = 3x\) \(du = 3.dx \Rightarrow dx = du/3\) Remplacer dans \(I\): \(\begin{align} I & = \int sin(u)\frac{du}{3} \end{align}\) Utiliser les règles de combinaisons linéaires, puis ajouter la constante d'intégration: \(\begin{align} I & = \frac{1}{3} \int sin(u) \\ & = \frac{1}{3} \times ( - cosu) + C \\ & = -\frac{1}{3} \times cosu + C \end{align}\) Remplacer \(u\) par sa valeur \(3x\): \[\begin{align} I & = -\frac{1}{3} \times cos(3x) + C \end{align}\]
*Exemple 2: \(\begin{align} I = \int cos^3xdx \end{align}\)*	*Exemple 3: \(\begin{align} I = \int sin^2xdx \end{align}\)*
Régle : exposant impair : "exploser" et utiliser l'identité trigo : \(cos²t + sin²t = 1\) exposant paire: identité numérique non adaptée car on se retrouve a chaque fois avec des exposant paires, que ce qoit en \(cos \) ou en \(sin\). Les formules de linéarisation trigo sont efficaces dans ce cas (exemple 3) Nous sommes dans le cas de l'exposant impaire : \(\begin{align} I & = \int cos^3xdx \\ & = \int cos²x.cosx.dx \\ & = \int (1-sin²t)cost.dt \\ & = \int (cost- sin²t.cost)dt \end{align}\) Utiliser les règles de linéarité, et d'intégration par changement de variable, ajouter la constante d'intégration et revenir une fonction de \(t\): \(u=sint \Rightarrow du = cost.dt\) \(\begin{align} I & = \int (cost- sin²t.cost)dt \\ & =\int cost.dt - \int u²du \\ & = sint - \frac{u^3}{3} + C \end{align}\) \[\begin{align} I & = sint - \frac{sin²x}{3} + C \end{align}\]	Cette fois ci , nous avons un exposant impaire. Il convient d'utiliser les formules de linéarisation trigonométrique: \(\begin{align} I & = \int sin^2xdx \\ & = \int \frac{1}{2}(1-cos(2x))dx\end{align}\) Règles de combinaison linéaire, et changement de variable: \[\begin{align}u = 2x && du = 2dx && dx = du/2 \end{align}\] \(\begin{align} I & = \frac{1}{2} \int (1-cosu)\frac{du}{2} \\ & = \frac{1}{4}\int (1-cosu)du \\ & = \frac{1}{4} (u-sinu) + C \end{align}\) Remplacer \(u\) par sa valeur \(2x\): \(\begin{align} I & = \frac{1}{4} (2x-sin(2x)) + C \end{align}\) \[\begin{align}I= \frac{1}{2} x - \frac{sin(2x)}{4} +C \end{align}\]

*Exemple 1: \(\begin{align} I = \int sin(3x)dx \end{align}\)*
Utiliser le changement de variable : \(u = 3x\) \(du = 3.dx \Rightarrow dx = du/3\) Remplacer dans \(I\): \(\begin{align} I & = \int sin(u)\frac{du}{3} \end{align}\) Utiliser les règles de combinaisons linéaires, puis ajouter la constante d'intégration: \(\begin{align} I & = \frac{1}{3} \int sin(u) \\ & = \frac{1}{3} \times ( - cosu) + C \\ & = -\frac{1}{3} \times cosu + C \end{align}\) Remplacer \(u\) par sa valeur \(3x\): \[\begin{align} I & = -\frac{1}{3} \times cos(3x) + C \end{align}\]
*Exemple 2: \(\begin{align} I = \int cos^3xdx \end{align}\)*	*Exemple 3: \(\begin{align} I = \int sin^2xdx \end{align}\)*
Régle : exposant impair : "exploser" et utiliser l'identité trigo : \(cos²t + sin²t = 1\) exposant paire: identité numérique non adaptée car on se retrouve a chaque fois avec des exposant paires, que ce qoit en \(cos \) ou en \(sin\). Les formules de linéarisation trigo sont efficaces dans ce cas (exemple 3) Nous sommes dans le cas de l'exposant impaire : \(\begin{align} I & = \int cos^3xdx \\ & = \int cos²x.cosx.dx \\ & = \int (1-sin²t)cost.dt \\ & = \int (cost- sin²t.cost)dt \end{align}\) Utiliser les règles de linéarité, et d'intégration par changement de variable, ajouter la constante d'intégration et revenir une fonction de \(t\): \(u=sint \Rightarrow du = cost.dt\) \(\begin{align} I & = \int (cost- sin²t.cost)dt \\ & =\int cost.dt - \int u²du \\ & = sint - \frac{u^3}{3} + C \end{align}\) \[\begin{align} I & = sint - \frac{sin²x}{3} + C \end{align}\]	Cette fois ci , nous avons un exposant impaire. Il convient d'utiliser les formules de linéarisation trigonométrique: \(\begin{align} I & = \int sin^2xdx \\ & = \int \frac{1}{2}(1-cos(2x))dx\end{align}\) Règles de combinaison linéaire, et changement de variable: \[\begin{align}u = 2x && du = 2dx && dx = du/2 \end{align}\] \(\begin{align} I & = \frac{1}{2} \int (1-cosu)\frac{du}{2} \\ & = \frac{1}{4}\int (1-cosu)du \\ & = \frac{1}{4} (u-sinu) + C \end{align}\) Remplacer \(u\) par sa valeur \(2x\): \(\begin{align} I & = \frac{1}{4} (2x-sin(2x)) + C \end{align}\) \[\begin{align}I= \frac{1}{2} x - \frac{sin(2x)}{4} +C \end{align}\]