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Duplication des angles

  1. cos(2a), sin(2a) et tan(2a)
  2. par les angles doubles
    1. cos(3a)
    2. sin(3a)
    3. tan(3a)
  3. par les formules d'Euler
    1. cos(3a), sin(3a)
    2. tan(3a)
  4. Résumé

1 - cos(2a), sin(2a) et tan(2a)

Connaissances pour la démonstration:

  • Formules d'addition
  • Identité remarquable

Les formules de l'angle moitié découlent directement des formules d'addition en remplaçant b par a.

 

1a - cos(2a)

\(cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb\)
\(cos(2a)=cos(a+a)=cosa.cosa-sina.sina=cos²a-sin²a\)
\(cos(2a)=cos²a-(1-cos²a)=2.cos²a-1\)
ou
\(cos(2a)=(1-sin²a)-sin²a=1-2.sin²a\)

\[\boxed{cos(2a)=cos²a-sin²a=1-2.sin²a=2cos²a-1}\]

On peut aussi écrire:

\[\boxed {cos^2a=\frac{1+cos(2a)}{2} \\ sin^2a=\frac{1-cos(2a)}{2}}\]

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1b - sin(2a)

\(sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb\)
\(sin(2a)=sin(a+a)=sina.cosa+cosa.sina=2.cosa.sina\)

\[\boxed{sin(2a)=2.cosa.sina}\]

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1c - tan(2a)

\(tan(a+b)=\frac{tana+tanb}{1-tana.tanb}\)

\(tan(2a)=tan(a+a)=\frac{tana+tana}{1-tana.tana}\)

\(tan(2a)=\frac{2.tana}{1-tan²a}\)

\[\boxed{tan(2a)=\frac{2.tana}{1-tan²a}}\]

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2a - cos(3a) par la multiplication des angles

Connaissances pour la démonstration:

  • Formules d'addition: cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb
  • Angle moitié
    • cos(2a)=cos²a-sin²b
    • sin(2a)=2.sina.cosa
  • Identité remarquable: sin²a=1-cos²a

 

\(\begin{align*}
cos(3a) & = cos(2a+a)  && \Leftarrow \text{séparation des }3a \text{ en 2 termes} \\ 
& = cos(2a).cosa  -  sin(2a).sina && \Leftarrow \text{formule d'addition} \\
& = (cos²a-sin²a).cosa  -  2.sina.cosa.sina && \Leftarrow \text{multiplication des angles} \\
& = cos^3a-sin²a.cosa  -2.sin²a.cosa  && \Leftarrow \text{distribution} \\
& = cos^3a-(1-cos²a).cosa  -2.(1-cos²a).cosa && \Leftarrow \text{identité remarquable}\\
& = cos^3a-cosa+cos^3a  -2.cosa+2cos^3a && \Leftarrow \text{distribution} \\
& = 4.cos^3a-3.cosa  && \Leftarrow \text{regroupement} 
\end{align*}\)

\[\boxed{cos(3a)=4.cos^3a-3.cosa}\]

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2b - sin(3a) par la multiplication des angles

Connaissances pour la démonstration:

  • Formules d'addition: sin(a+b)=sina.cosb+sinb.cosa
  • angles moitié
    • sin(2a)=2.sina.cosa
    • cos(2a)=1-2.sin²a
  • Identité remarquable: cos²a=1-sin²a

\(\begin{align*}sin(3a) & = sin(2a+a)  && \Leftarrow \text{séparation de }3a \text{ en 2 termes} \\
& = sin(2a).cosa  + cos(2a).sina && \Leftarrow \text{formule d'addition} \\
& = [2.sin(a).cos(a)].cos(a)  +[1-2.sin²(a)].sin(a) && \Leftarrow \text{multiplication des angles} \\
& = 2.sin(a).cos²(a)  +sin(a)-2sin^3(a) && \Leftarrow \text{distribution} \\
& = 2.sina.(1-sin²a)  + sina -2.sin^3a && \Leftarrow \text{identité remarquable} \\
& = 2.sina-2.sin^3a  +sina -2.sin^3a && \Leftarrow \text{dévellopement} \\
& = -4.sin^3a + 3.sina  && \Leftarrow \text{regroupement}
\end{align*}\)

\[\boxed{sin(3a)=-4.sin^3a+3.sina}\]

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2c - tan(3a) par la multiplication des angles

Connaissances pour la démonstration:

  • Formules d'addition
  • Formule de multiplication des angles
  • Identité remarquable

 

\(\begin{align*} tan(3a) & = tan(2a+a) &&  \Leftarrow \text{séparation de}3a \text{en 2 termes} \\
& = \frac{tan2a+tana}{1-tan2a.tana} && \Leftarrow \text{multiplication des angles} \\
& = \frac{\frac{2.tana}{1-tan²a}+tana}{1-\frac{2.tana}{1-tan²a}tana} && \Leftarrow \text{multiplication des angles} \\
& = \frac{2.tana+tana.(1-tan²a)}{1-tan²a-2.tan²a}  && \Leftarrow \text{multiplier haut et bas par } 1-tan²a \\
& = \frac{3.tana-tan^3a}{1-3.tan²a} && \Leftarrow \text{regrouper}
\end{align*}\)

\[\boxed{tan(3a)=\frac{3.tana-tan^3a}{1-3.tan²a}}\]

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3a - cos(3a) et sin(3a) par Euler

Connaissances pour la démonstration:

  • les nombres complexes:
    • forme trigonométrique:\(z=cosa+i.sina\)
    • forme exponentielle: \(z=e^{ia}\)
    • parties réelles et imaginaires: \(Re(z)\) et \(Im(z)\)
    • identité remarquable

Soit \(z= e^{i.3a}=cos(3a)+i.sin(3a)\), alors, \(\begin{cases} cos(3a) = Re(z) \\ sin(3a)=Im(z) \end{cases}\)

\(\begin{align*}z & = e^{i(3a)} \\
& =(e^{ia})^3=(cosa+i.sina)^3 \\
& = cos^3a+3.cos²a.i.sina+3.cosa.i²sin²a+i^3sin^3a &&  \Leftarrow \text{développer }(a+b)^3 \\
& = (cos^3a-3.cosa.sin²a)  +i(3.cos²a.sina-sin^3a) && \Leftarrow \text{regrouper }Re(z) \text{ et }Im(z) \\
& = [cos^3a-3.cosa(1-cos²a)]  +i.[3.(1-sin²a)sina-sin^3a] && \Leftarrow \text{Identité remarquable} \\
& = [cos^3a-3.cosa+3cos^3a]  +i[-3sin^3a+3.sina-sin^3a] && \Leftarrow \text{développer} \\
& = (4cos^3a-3cosa)  +i(-4sin^3a+3sina) && \Leftarrow \text{regrouper et identifier }Re(z) \text{ et }Im(z)
\end{align*}\)

\(\Longrightarrow \begin{cases} Re(z)=4cos^3a-3cosa = cos(3a) \\ Im(z)= -4sin^3a+3sina= sin(3a) \end{cases}\)

\[\boxed{cos(3a)= 4cos^3a-3cosa \\ sin(3a)= -4sin^3a+3sina}\]

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3b - tan(3a) par Euler

Connaissance pour la démonstration:

  • nombres complexes: tan(a) = Im(z) / Re(z)
  • identité remarquable:
    • 1+tan²a = 1 / cos²a
    • sin²a= 1-cos²a

\(\begin{align*}
tan(3a) & = \frac{Im(z)}{Re(z)} = \frac{-4sin^3a+3sina}{4cos^3a-3cosa} \\
& =\frac{sina}{cosa}.\frac{-4sin²a+3}{4cos²a-3} && \Leftarrow \text{factorisation respective par }sina \text{ et }cosa \\
& = tana.\frac{-4.(1-cos²a)+3}{4cos²a-3} && \Leftarrow \text{identité remarquable} \\
& = tana.\frac{-1+4cos²a}{4cos²a-3} && \Leftarrow \text{dévelpper et regrouper} \\
& = tana.\frac{4-\frac{1}{cos²a}}{4-\frac{3}{cos²a}} && \Leftarrow \text{diviser en haut et en bas par }cos²a \\
& = tana.\frac{4-(1+tan²a)}{4-3(1+tan²a)} && \Leftarrow \text{identité remarquable }\frac{1}{cos²a}=1+tan²a \\
& = tana.\frac{3-tan²a}{1-3.tan²a} && \Leftarrow \text{développer et regrouper} \\
& = \frac{3.tana-tan^3a}{1-3.tan²a} && \Leftarrow \text{calculer}
\end{align*}\)

\[\boxed{tan(3a)=\frac{3.tana-tan^3a}{1-3.tan²a}}\]

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Résumé

 

Angles moitiés

Angles tiers
\[cos(2a)=cos²(a)-sin²(a)=2cos²(a)-1=1-2sin²(a) \\ sin(2a)=2cos(a).sin(a) \\ tan(2a)=\frac{2tan(a)}{1-tan²(a)}\] \[cos(3a)=-3cos(a)+4cos^3(a) \\ sin(3a)=3sin(a) - 4 sin^3(a) \\ tan(3a)=\frac{3tan(a)-tan^3(a)}{1-3tan²(a)} \]

 

On peut utiliser aussi les polynômes de Tchebichev de 1ère et de 2ème espèce pour calculer \(sin(n\theta)\) et \(cos(n\theta)\).

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