Duplication des angles

Connaissances pour la démonstration:

• Formules d'addition
• Identité remarquable

Les formules de l'angle moitié découlent directement des formules d'addition en remplaçant b par a..

\(cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb\)
\(cos(2a)=cos(a+a)=cosa.cosa-sina.sina=cos²a-sin²a\)
\(cos(2a)=cos²a-(1-cos²a)=2.cos²a-1\)
ou
\(cos(2a)=(1-sin²a)-sin²a=1-2.sin²a\)

\[\boxed{cos(2a)=cos²a-sin²a=1-2.sin²a=2cos²a-1}\]

On peut aussi écrire:

\[\boxed {cos^2a=\frac{1+cos(2a)}{2} \\ sin^2a=\frac{1-cos(2a)}{2}}\]

\(sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb\)
\(sin(2a)=sin(a+a)=sina.cosa+cosa.sina=2.cosa.sina\)

\[\boxed{sin(2a)=2.cosa.sina}\]

\(tan(a+b)=\frac{tana+tanb}{1-tana.tanb}\)

\(tan(2a)=tan(a+a)=\frac{tana+tana}{1-tana.tana}\)

\(tan(2a)=\frac{2.tana}{1-tan²a}\)

\[\boxed{tan(2a)=\frac{2.tana}{1-tan²a}}\]

Connaissances pour la démonstration:

• Formules d'addition: cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb
• Angle moitié
  • cos(2a)=cos²a-sin²b
  • sin(2a)=2.sina.cosa
• Identité remarquable: sin²a=1-cos²a

\(\begin{align*}
cos(3a) & = cos(2a+a) && && \Leftarrow \text{séparation des }3a \text{ en 2 termes} \\ 
& = cos(2a).cosa && -  sin(2a).sina && \Leftarrow \text{formule d'addition} \\
& = (cos²a-sin²a).cosa && -  2.sina.cosa.sina && \Leftarrow \text{multiplication des angles} \\
& = cos^3a-sin²a.cosa && -2.sin²a.cosa  && \Leftarrow \text{distribution} \\
& = cos^3a-(1-cos²a).cosa && -2.(1-cos²a).cosa && \Leftarrow \text{identité remarquable}\\
& = cos^3a-cosa+cos^3a && -2.cosa+2cos^3a && \Leftarrow \text{distribution} \\
& = 4.cos^3a-3.cosa && && \Leftarrow \text{regroupement} 
\end{align*}\)

\[\boxed{cos(3a)=4.cos^3a-3.cosa}\]

Connaissances pour la démonstration:

• Formules d'addition: sin(a+b)=sina.cosb+sinb.cosa
• angles moitié
  • sin(2a)=2.sina.cosa
  • cos(2a)=1-2.sin²a
• Identité remarquable: cos²a=1-sin²a

\(\begin{align*}sin(3a) & = sin(2a+a) && && \Leftarrow \text{séparation de }3a \text{ en 2 termes} \\
& = sin(2a).cosa && + cos(2a).sina && \Leftarrow \text{formule d'addition} \\
& = [2.sin(a).cos(a)].cos(a) && +[1-2.sin²(a)].sin(a) && \Leftarrow \text{multiplication des angles} \\
& = 2.sin(a).cos²(a) && +sin(a)-2sin^3(a) && \Leftarrow \text{distribution} \\
& = 2.sina.(1-sin²a) && + sina -2.sin^3a && \Leftarrow \text{identité remarquable} \\
& = 2.sina-2.sin^3a && +sina -2.sin^3a && \Leftarrow \text{dévellopement} \\
& = -4.sin^3a + 3.sina && && \Leftarrow \text{regroupement}
\end{align*}\)

\[\boxed{sin(3a)=-4.sin^3a+3.sina}\]

Connaissances pour la démonstration:

• Formules d'addition
• Formule de multiplication des angles
• Identité remarquable

\(\begin{align*} tan(3a) & = tan(2a+a) &&  \Leftarrow \text{séparation de}3a \text{en 2 termes} \\
& = \frac{tan2a+tana}{1-tan2a.tana} && \Leftarrow \text{multiplication des angles} \\
& = \frac{\frac{2.tana}{1-tan²a}+tana}{1-\frac{2.tana}{1-tan²a}tana} && \Leftarrow \text{multiplication des angles} \\
& = \frac{2.tana+tana.(1-tan²a)}{1-tan²a-2.tan²a}  && \Leftarrow \text{multiplier haut et bas par } 1-tan²a \\
& = \frac{3.tana-tan^3a}{1-3.tan²a} && \Leftarrow \text{regrouper}
\end{align*}\)

\[\boxed{tan(3a)=\frac{3.tana-tan^3a}{1-3.tan²a}}\]

Connaissances pour la démonstration:

• les nombres complexes:
  • forme trigonométrique:\(z=cosa+i.sina\)
  • forme exponentielle: \(z=e^{ia}\)
  • parties réelles et imaginaires: \(Re(z)\) et \(Im(z)\)
  • identité remarquable

Soit \(z= e^{i.3a}=cos(3a)+i.sin(3a)\), alors, \(\begin{cases} cos(3a) = Re(z) \\ sin(3a)=Im(z) \end{cases}\)

\(\begin{align*}z & = e^{i(3a)} \\
& =(e^{ia})^3=(cosa+i.sina)^3 \\
& = cos^3a+3.cos²a.i.sina+3.cosa.i²sin²a+i^3sin^3a && &&  \Leftarrow \text{développer }(a+b)^3 \\
& = (cos^3a-3.cosa.sin²a) && +i(3.cos²a.sina-sin^3a) && \Leftarrow \text{regrouper }Re(z) \text{ et }Im(z) \\
& = [cos^3a-3.cosa(1-cos²a)] && +i.[3.(1-sin²a)sina-sin^3a] && \Leftarrow \text{Identité remarquable} \\
& = [cos^3a-3.cosa+3cos^3a] && +i[-3sin^3a+3.sina-sin^3a] && \Leftarrow \text{développer} \\
& = (4cos^3a-3cosa) && +i(-4sin^3a+3sina) && \Leftarrow \text{regrouper et identifier }Re(z) \text{ et }Im(z)
\end{align*}\)

\(\Longrightarrow \begin{cases} Re(z)=4cos^3a-3cosa = cos(3a) \\ Im(z)= -4sin^3a+3sina= sin(3a) \end{cases}\)

\[\boxed{cos(3a)= 4cos^3a-3cosa \\ sin(3a)= -4sin^3a+3sina}\]

Connaissance pour la démonstration:

• nombres complexes: tan(a) = Im(z) / Re(z)
• identité remarquable:
  • 1+tan²a = 1 / cos²a
  • sin²a= 1-cos²a

\(\begin{align*}
tan(3a) & = \frac{Im(z)}{Re(z)} = \frac{-4sin^3a+3sina}{4cos^3a-3cosa} \\
& =\frac{sina}{cosa}.\frac{-4sin²a+3}{4cos²a-3} && \Leftarrow \text{factorisation respective par }sina \text{ et }cosa \\
& = tana.\frac{-4.(1-cos²a)+3}{4cos²a-3} && \Leftarrow \text{identité remarquable} \\
& = tana.\frac{-1+4cos²a}{4cos²a-3} && \Leftarrow \text{dévelpper et regrouper} \\
& = tana.\frac{4-\frac{1}{cos²a}}{4-\frac{3}{cos²a}} && \Leftarrow \text{diviser en haut et en bas par }cos²a \\
& = tana.\frac{4-(1+tan²a)}{4-3(1+tan²a)} && \Leftarrow \text{identité remarquable }\frac{1}{cos²a}=1+tan²a \\
& = tana.\frac{3-tan²a}{1-3.tan²a} && \Leftarrow \text{développer et regrouper} \\
& = \frac{3.tana-tan^3a}{1-3.tan²a} && \Leftarrow \text{calculer}
\end{align*}\)

\[\boxed{tan(3a)=\frac{3.tana-tan^3a}{1-3.tan²a}}\]