Primitives usuelles

Dans ce chapitre :

  • les primitives des fonctions usuelles
  • les formes remarquables
  • quelques exemples

1 - Primitives des fonctions usuelles

Certaines fonctions sont vues à partir de la classe de Terminale et d'autres en Post-Bac

la fonction \(f\) Une primitive de \(f\)  sur l'interval ... remarque  
\(f(x)=0\) \(F(x)\) \(\mathbb R\)   Terminale
\(f(x)=1\) \(F(x)=x\) \(\mathbb R\)   Terminale
\(f(x)=a\) \(F(x)=ax\) \(\mathbb R\)   Terminale
\[ x^n \\   \space  \\ n \in \mathbb N-\{ -1 \}   \] \( \begin{align*}F(x)=\frac{1}{n+1} \times x^{n+1}  \end{align*}\) \(\mathbb R\)   - augmenter l'exposant (\( \Rightarrow n+1\)) 
- puis diviser par le nouvel exposant (\(n+1\))

Terminale
\( \begin{align*}\frac{1}{x^n} = x^{-n} \\ \\  n \in \mathbb N^*- \{ 1\} \end{align*}\) \( \begin{align*}F(x)= \frac{1}{-n+1} \times x^{-n+1} \\ = \frac{1}{-(n-1)\times x^{n-1}}  \end{align*}\) \(\mathbb R_-^*\) ou \(\mathbb R_+^*\) - on applique la méthode ci-dessus Terminale
\( \begin{align*}\frac{1}{x} \end{align*}\) \( \begin{align*} ln \lvert x \rvert  \end{align*}\) \(\mathbb R_-^*\) ou \(\mathbb R_+^*\)   Terminale
\( \begin{align*}\frac{1}{\sqrt x} = x^{-\frac{1}{2}} \end{align*}\) \( \begin{align*}\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1/2}+C= 2 \sqrt x \end{align*}\) \(\mathbb R^{+*}\) - on peut appliquer la méthode ci-dessus Terminale
\(\begin{align*}f(x) = e^x \end{align*}\) \(\begin{align*}F(x) = e^x \end{align*}\) \(\mathbb R\) - Par définition de \(e^x\)  
\(\begin{align*}f(x) = e^{\lambda x} \\
\lambda \in \mathbb C^* \end{align*}\)

 \(\begin{align*}F(x) = \frac{1}{\lambda} e^{\lambda x}  \end{align*}\) \(\mathbb R\)    
\(\begin{align*}f(x) = ln x \end{align*}\) \(\begin{align*}F(x) & = x.lnx-x  \end{align*}\) \(\mathbb R_+^*\) - IPP de \(1 \times lnx\)  
\(\begin{align*}f(x) = sinh x \end{align*}\) \(\begin{align*}F(x) & = coshx  \end{align*}\) \(\mathbb R\)    
\(\begin{align*}f(x) = cosh x \end{align*}\) \(\begin{align*}F(x) & = sinhx  \end{align*}\) \(\mathbb R\)    
\(\begin{align*}f(x) = cos x \end{align*}\) \(\begin{align*}F(x) & = sinx  \end{align*}\) \(\mathbb R\)    
\(\begin{align*}f(x) = sin x \end{align*}\) \(\begin{align*}F(x) & = -cosx  \end{align*}\) \(\mathbb R\)    
\(\begin{align*}f(x) = tan x \end{align*}\) \(\begin{align*}F(x) & = - ln \lvert cosx \rvert \end{align*}\) \[]-\pi/2+k\pi; \pi/2 + k \pi[ \\
; \space k \in \mathbb Z\]		    
\(\begin{align*}f(x) = \frac{1}{1+x²} \end{align*}\) \(\begin{align*}F(x) & = Arctan x \\ & = tan^{-1}x\end{align*}\) \(\mathbb R\)    
\(\begin{align*}f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x²}} \end{align*}\) \(\begin{align*}F(x) & = Arcsin x \\ & = sin^{-1}x\end{align*}\) \(]-1;1[\)    
\(\begin{align*}f(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x²}} \end{align*}\) \(\begin{align*}F(x) & = Arcos x \\ & = cos^{-1}x \end{align*}\) \(]-1;1[\)    

 

 

2 - Formes remarquables 

Soit \(u\) , une fonction: 

Fonctions \(f\) Une primititve \(f\) Remarque  
\(\begin{align*}u'u^n \space , \space n \in \mathbb N \end{align*}\) \(\begin{align*}\frac{1}{n+1} \times u^{n+1}\end{align*}\)   Terminale
\(\begin{align*}\frac{u'}{u^n} \space , \space n \geq 2 \end{align*}\) \(\begin{align*}-\frac{1}{n-1}\times \frac{1}{u^{n-1}} \end{align*}\) \( \forall \space x \in I, u(x) \neq 0\) Terminale
\(\begin{align*}\frac{u'}{u} \end{align*}\) \(\begin{align*} ln \lvert u \rvert \end{align*}\) \( \forall \space x \in I, u(x) \neq 0\) Terminale
\(\begin{align*}\frac{u'}{\sqrt u} \end{align*}\) \(\begin{align*}2 \sqrt u \end{align*}\) \( \forall \space x \in I, u(x) \geq 0\) Terminale
\(\begin{align*}u'e^u \end{align*}\) \(\begin{align*} e^u \end{align*}\) \( \forall \space x \in \mathbb R\)  
\(\begin{align*}u'cosu \end{align*}\) \(\begin{align*} sinu \end{align*}\) \( \forall \space x \in \mathbb R\)  
\(\begin{align*}u'sinu \end{align*}\) \(\begin{align*} -cosu \end{align*}\) \( \forall \space x \in \mathbb R\)  
\(\begin{align*}u'tanu \end{align*}\) \(\begin{align*} -ln \lvert cosu \rvert \end{align*}\) \( \forall \space x \in \mathbb R\)  
\(\begin{align*}u'coshu \end{align*}\) \(\begin{align*} sinu \end{align*}\) \( \forall \space x \in \mathbb R\)  
\(\begin{align*}u'sinhu \end{align*}\) \(\begin{align*} coshu \end{align*}\) \( \forall \space x \in \mathbb R\)  
\(\begin{align*}u'tanu \end{align*}\) \(\begin{align*} ln \lvert coshu \rvert \end{align*}\) \( \forall \space x \in \mathbb R\)  
       
       

 

 

3 - Exemples

3-1 \(u'u^n\)
\(x^{\alpha}\) a pour primitive \(\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\) \(u'.u^{\alpha}\) a pour primitive  \(\frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}\) 

\(f(x) =(2x+3)(x²+3x)^3\)

On remarque que \(\big[ x²+3x\big]' = 2x+3\). Nous avons donc une forme en \(u' \times u^n\) avec \(n=3\)

Une primitive de \(u' \times u^n\) est \(\begin{align*} u^{\overbrace{n}^{+1}} \end{align*}\) divisé par \(n+1\)

Une primitive de \((2x+3)(x²+3x)^3\) est \(\begin{align*} \frac{(x²+3x)^{3+1}}{3+1} \end{align*}\) 

Ce qui donne \(F(x) =((x²+3x)^4\times \frac{1}{4} + C\) avec \(C \in \mathbb R\)

 

3-2 \(u'/u\)
\(\begin{align*}\frac{1}{x} \end{align*}\) a pour primitive \(ln \lvert x \rvert\) \(\begin{align*}\frac{u'}{u}\end{align*}\) a pour primitive \(ln \lvert u \rvert \) 

\( \begin{align*} f(x) =\frac{cosx}{3+2sinx} \end{align*}\)

On remarque que \(\big[ 3+2 sinx]' = 2cosx\). Nous avons donc une forme en \(\frac{u'}{u}\) a un facteur \(2\) prés.

\( \begin{align*} f(x) =\frac{cosx}{3+2sinx}  = \frac{1}{2} \times \frac{2cosx}{3+2sinx} = \frac{1}{2} \times \frac{u'}{u}\end{align*}\)

\( \begin{align*} F(x) =\frac{1}{2} \times ln \lvert \frac{2cosx}{3+2sinx} \rvert \end{align*}\) avec \(C \in \mathbb R \) 

 

3-3 \(u'lnu\)
\(lnx\) a pour primitive \(lnx-x\) \(u'lnu\) a pour primitive \(ulnu-u\)

\(\begin{align*} f(x) = \frac{ln\sqrt x}{\sqrt x} \end{align*}\) 

On remarque que \(\begin{align*} \big[\sqrt x]' = \frac{1}{2 \sqrt x} \end{align*}\). Nous avons donc une forme en \(u' \times lnu\) a un facteur \(2\) prés.

\(\begin{align*} f(x) = 2 \times \frac{1}{ 2 \sqrt x} \times ln\sqrt x = 2u'.lnu \end{align*}\) 

\( \begin{align*} F(x) & = 2 \times (u.lnu-u) = 2 \times (\sqrt x . ln( \sqrt x) - \sqrt x) \\
& = 2 \sqrt x \times  (ln (\sqrt x -1)  \end{align*} \)

\( \begin{align*} F(x) =2 \sqrt x \times  (ln (\sqrt x -1) + C \end{align*} \) avec \(C \in \mathbb R \) 

 

3-4 \(u'e^u\)
\(e^x\) a pour primitive \(e^x\) \(u'e^u\) a pour primitive \(e^u\)

\(\begin{align*} f(x) = 2x².e^{x^3-1} \end{align*}\) 

On remarque que \(\begin{align*} \big[x^3-1]' = 3x² \end{align*}\). Nous avons donc une forme en \(u' \times e^u\) a un facteur prés.

\(\begin{align*} f(x) =2x².e^{x^3-1} = 2  \times \frac{1}{3}3x²e^{x3-1}= \frac{2}{3}u'e^u \end{align*}\) 

\( \begin{align*} F(x) & =\frac{2}{3} e^u = \frac{2}{3} e^{x^3-1}+ C \end{align*} \) avec \(C \in \mathbb R \)  

 

3-5 \(\frac{u'}{\sqrt u}\)
\(\frac{1}{\sqrt x}\) a pour primitive \(2 \sqrt x\) \(\frac{u'}{\sqrt u}\) a pour primitive \(2 \sqrt u\)

\(\begin{align*} f(x) = \frac{2sinx}{\sqrt{4-cosx}} \end{align*}\) 

On remarque que \(\begin{align*} \big[4-cosx]' = sinx \end{align*}\). Nous avons donc une forme en \(\frac{u'}{\sqrt u}\) a un facteur prés. 

\(\begin{align*} f(x) =2 \times \frac{sinx}{\sqrt{4-cosx}} = 2 \times \frac{u'}{\sqrt u} \end{align*}\) 

\( \begin{align*} F(x) & =2 \times 2 \sqrt u =2 \times 2 \sqrt {4-cosx}  \end{align*} \)

\( \begin{align*} F(x) & =4 \sqrt {4-cosx}  +C \end{align*} \)  avec \(C \in \mathbb R \)  

 

3-6 \(u'sinu\)
\(sinx\) a pour primitive \(-cosx\) \(u'sinu\) a pour primitive \(-cosu\)

\(\begin{align*} f(x) = (x+\frac{3}{2})sin(x²+3x) \end{align*}\) 

On remarque que \(\begin{align*} \big[x²+3x]' = 2x+3 = 2 \times (x+ \frac{3}{2}) \end{align*}\). Nous avons donc une forme en \(u'sinu\) a un facteur prés. 

\(\begin{align*} f(x) =\frac{1}{2} \times 2 \times (x+\frac{3}{2})sin(x²+3x) =\frac{1}{2} \times (2x+3)sin²+3x) =\frac{1}{2} u'sinu  \end{align*}\) 

\( \begin{align*} F(x) & =\frac{1}{2} \times (-cos u) = - \frac{1}{2}cos(x²+3x) \end{align*} \)

\( \begin{align*} F(x) & =- \frac{1}{2}cos(x²+3x)+C \end{align*} \)  avec \(C \in \mathbb R \)  

 

Le même genre d'intégration peut être faite avec des fonctions

  • \(u'cosu\) dont une primitive est \(sinu\)
  • \(u'sinhu\) dont une primitive est \(coshu\) 
  • \(u'coshu\) dont une primitive est \(sinhu\) 

 

3-7 \(u'tanu\)
\(tanx\) a pour primitive \(-ln \lvert cosx \rvert\) \(u'tanu\) a pour primitive \(-ln \lvert cosu \rvert\)

\(\begin{align*} f(x) = 5x \times tan(3x²) \end{align*}\) 

On remarque que \(\begin{align*} \big[3x² \big]' =6x \end{align*}\). Nous avons donc une forme en \(u'tanu\) a un facteur prés. 

\(\begin{align*} f(x) =\frac{5}{6} \times 6x \times tan(3x²) =\frac{5}{6} \times u'tanu  \end{align*}\) 

\( \begin{align*} F(x) & =\frac{5}{6} \times -ln \lvert cos(3x²) \rvert  = - \frac{5}{6}ln \lvert cos(3x²) \rvert \end{align*} \)

\( \begin{align*} F(x) & =- \frac{5}{6}ln \lvert cos(3x²) \rvert+C \end{align*} \)  avec \(C \in \mathbb R \)  

 

Il en va de même avec 

  • \(u'tanhu\) dont une primitive est \(ln ( tanhu )\) car \(tanh(u) \geq 0\)

 

3-8 \(u'tanu\)
\(tanx\) a pour primitive \(-ln \lvert cosx \rvert\) \(u'tanu\) a pour primitive \(-ln \lvert cosu \rvert\)

\(\begin{align*} f(x) = 5x \times tan(3x²) \end{align*}\) 

On remarque que \(\begin{align*} \big[3x² \big]' =6x \end{align*}\). Nous avons donc une forme en \(u'tanu\) a un facteur prés. 

\(\begin{align*} f(x) =\frac{5}{6} \times 6x \times tan(3x²) =\frac{5}{6} \times u'tanu  \end{align*}\) 

\( \begin{align*} F(x) & =\frac{5}{6} \times -ln \lvert cos(3x²) \rvert  = - \frac{5}{6}ln \lvert cos(3x²) \rvert \end{align*} \)

\( \begin{align*} F(x) & =- \frac{5}{6}ln \lvert cos(3x²) \rvert+C \end{align*} \)  avec \(C \in \mathbb R \)  

 

Il en va de même avec 

  • \(u'tanhu\) dont une primitive est \(ln \lvert tanhu \rvert \)