Exemples

Exemple 1: \(f(x) =3x^5 −2x^3 +x+3−\frac{1}{x} +\frac{3}{x²} − \frac{5}{x^4} +\frac{2}{\sqrt x}\)

\( \begin{align*} & 3x^5 \Rightarrow 3 \frac{x^6}{6} = \frac{1}{2}x^6 \text{ sur } \mathbb R\\
& -2x^3 \Rightarrow -2 \frac{x^4}{4} = -\frac{1}{2}x^4 \text{ sur } \mathbb R\\
& x \Rightarrow \frac{x^2}{2} \text{ sur } \mathbb R\\
& 3 \Rightarrow 3x \text{ sur } \mathbb R\\
& -\frac{1}{x} \Rightarrow - ln \lvert x \rvert \text{ sur } \mathbb R^* \\
& \frac{3}{x²} \Rightarrow -\frac{3}{x} \text{ sur } \mathbb R^*\\
& -\frac{5}{x^4} = -5x^{-4} \Rightarrow -5\frac{1}{-3}x^{-3} = \frac{5}{3x^{3}} \text{ sur } \mathbb R^*\\
& \frac{2}{\sqrt x } = 2 x^{-1/2} \Rightarrow 2 x^{1/2} \times \frac{1}{1/2} = 4 \sqrt x \text{ sur } \mathbb R^{+*}\end{align*}\)

\[ \boxed{\begin{align*}F(x) = \frac{1}{2}x^6 -\frac{1}{2}x^4 + \frac{x^2}{2} +3x - ln \lvert x \rvert -\frac{3}{x}+\frac{5}{3x^{3}} +4 \sqrt x + C(\in \mathbb R)\end{align*}}\]

Exemple 2: \(f(x) =2cos(2x+\pi/3 )−5sin(3x−\pi/4 )\)

\( \begin{align*} & 2cos(2x+\pi/3) \Rightarrow 2 \times \frac{1}{2}sin(2x+\pi/3) \text{ sur } \mathbb R \\
& -5sin(2x+\pi/4) \Rightarrow -5 \times -\frac{1}{2}cos(2x+\pi/4) \text{ sur } \mathbb R \end{align*}\)

\[ \boxed{\begin{align*}F(x) = sin(2x+\pi/3) +\frac{5}{2}cos(2x+\pi/4)+ C(\in \mathbb R)\end{align*}}\]

Exemple 3: \( f(x) = 5e^{2x+7}\)

\( \begin{align*} & 5e^{2x+7} \Rightarrow 5 \times \frac{1}{2}e^{2x+7} \text{ sur } \mathbb R \end{align*}\)

\[ \boxed{\begin{align*}F(x) = 5 \frac{1}{2}e^{2x+7}+ C(\in \mathbb R)\end{align*}}\]

Exemple 4: \( f(x) = 3(2x+5)²\)

Posons \(u = 2x+5\) , alors \(f(u(x)) = 3 \times (u(x))²\)
On pourrait penser alors que \(F(u(x))\) qui serait une primitive de \(f(u(x))\) serait alors \(3 \times \frac{u^3}{3}\)

Mais nous sommes ici dans le cas d'une composition de fonctions: en effet si \(F(x)= u^3(x) = (2x+5)^3\) alors la dérivée de \(F(x)\), \(F'(x) = 3(2x+5)² \times (2x+5)' = 3(2x+5) \times 2 \).

Il va falloir compenser ce facteur 2 qui apparaitra lors de la dérivation de \(F\)

On en conclue que \(F(x) = (2x+5)^3 \times \frac{1}{2}\)

Et maintenant, \(F'(x) = 3 \times \times (2x+5)² \times 2 \times \frac{1}{2} = 3(2x+5)\)

\[ \boxed{\begin{align*}F(x) = \frac{1}{2}(2x+5)^3+ C(\in \mathbb R)\end{align*}}\]

Exemple 5: \(f(x) = \frac{5}{(3x+3)^3}\)

\(f(x) = 5(3x+3)^{-3}\)

La dérivée de \(3x+3\) est \(3\). Il va donc nous falloir diviser le résultat par 3, et

\(F(x) = 5 \times \frac{(3x+3)^{-2}}{-2} \times \frac{1}{3}\)

Exemple 6: \(f(x)=\frac{4}{\sqrt{2x+1}}\)

\(f(x) = 4 \times (2x+1)^{-1/2}\)

\(F(x)= 4 \times \frac{(2x+1)^{1/2}}{1/2} \times \frac{1}{2} \\
= 4 \sqrt{2x+1}\)

Exemple 1:

\(\big[ F(g(x)) \big] ' = F'(g(x)) \times g'(x) = f(g(x)) \times g'(x) \Rightarrow f'(g(x)) = big[F(g(x))\big]' \times \frac{1}{g'(x)}\)

Exemple 7: \( f(x) = \frac{3}{2x+3}\)

\(f(x) = 3 \times \frac{1}{2x+3}\)

\(F(x) = 3 \times ln \lvert 2x+3 \rvert \times \frac{1}{2} \\
= \frac{3}{2} ln \lvert 2x+3 \rvert\)

Exemple 8: \(f(x) =xe^{x²+3}\)

\(f(x) = \frac{1}{2} \times 2x.e^{x²+3} =\frac{1}{2} u'e^u\) avec \(u = x²+3\)

\(F(x) = \frac{1}{2}e^{x²+3} +C\)

Exemple 9: \(f(x) = 5x.(x²+5)²\)

On remarque que \([(x²+5)^3]' = 3(x²+5)^2 \times 2x = 6x.(x²+5)²\)
Il va donc nous falloir diviser par \(6 (3\times2)\) et multiplier par \(5\) pour obtenir la forme voulue

\(F(x)= 3 \times 2 \times x (x²+5)^3 \times\frac{5}{6}\)

Si \(u = (x²+5)\), alors \(f(x) = 5 x.u²\) et \(F(x) = 5 x \frac{u^3}{3} \times 1/2x = \frac{5}{6}(x²+5)^3\)

Exemple 1: \( f(x) = \frac{x²}{(x^3+1)²}\)

Posons \(u = x^3 + 1\)

\(f(x) = \frac{x²}{u²}= x²(u^{-2}) \\
F(x) = x² \times -u^{-1} \times \frac{1}{3x²} \\
F(x) = -\frac{1}{3}\frac{1}{x^3+1}\)