Trigo et Complexes

La formule d'Euler permet de :

• passer de la forme algébrique d'un nombre complexe a sa forme exponentielle
• de simplifier le calcul de puissance de sin et cos
• de linéariser une expression (linéariser par exemple \(sin^3x\))

Soit un nombre complexe \(z =cos\theta + i.sin\theta\). En dérivant ce nombre \(z\), il vient:

\( \begin{align*} \frac{dz}{d\theta}  & = -sin\theta + i.cos\theta && = i^2.sin\theta + i.cos\theta  \\
\frac{dz}{d\theta}& = i.(cos\theta + i.sin\theta) && = i.z  \\
& \Rightarrow \frac{dz}{z} = i.d\theta \end{align*} \)

Il s'agit maintenant de résoudre cette équation différentielle:

\(\begin{align*} \frac{dz}{z} = i\theta & \Rightarrow ln(z) = i.\theta + C \\
& \Rightarrow z=e^{i\theta+C}  =e^{i\theta}e^{C} = k.e^{i\theta} \end{align*} \)

Puis de déterminer k: pour \(\theta=0\):

 \(\begin{align} \begin{cases} z & = cos\theta + i.sin\theta = cos0+ i.sin0= 1\\
z & = k.e^{i\theta}=k.e^{i0} = k \end{cases} \Rightarrow k=1 \end{align}\)

En définitive, nous avons:

En conséquence:

\( \begin{align} \begin{cases}  e^{i\theta} & = cos\theta +i.sin\theta \\ e^{-i\theta} & = cos\theta -i.sin\theta  \end{cases} \Rightarrow  e^{i\theta} + e^{-i\theta} =2cos\theta \Rightarrow cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \end{align}\)

\( \begin{align} \begin{cases}  e^{i\theta} & = cos\theta +i.sin\theta \\ e^{-i\theta} & = cos\theta -i.sin\theta  \end{cases} \Rightarrow  e^{i\theta} - e^{-i\theta} =2isin\theta \Rightarrow sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \end{align}\)

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La formule de Moivre permet de:

• simplifier le calcul de puissances élevées d'un nombre complexe
• linéariser \(cos^nx\) en fonction des puissances de \(cosx\)
• retrouver facilement les formules d'addition et de duplication des angles \((cos(2x))\) 

La formule de Moivre :

Par récurrence: en connaissant les formules d'addition:

Par la formule d'Euler:

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