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Préambule

La trigonométrie a déjà été abordée dans le chapitre avec une approche géométrique. Cette approche nous a permis d'établir un certain nombre de définitions et de relations entre \(sin\), \(cos\) et \(tan\).

Nous abordons en maintenant \(sin\), \(cos\) et \(tan\) sous la forme de fonctions. Ce qui nous permettra aussi d'aborder leurs dérivée, leurs représentations graphiques, leurs réciproques  etc etc etc

  1. Le cercle trigonométrique
  2. Propriétés
  3. Rappels
    • Identité trigonométrique
    • Quelques valeurs particulières
    • Formules d'addition
    • Parité

1 - Le cercle trigonométrique

On se place dans le plan, rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec{i},\vec{i})\).
Le cercle trigonométrique \((\Gamma)\) est le cercle centré sur \(O\) et de rayon \(1\). Il a pour équation : \(x²+y²=1\)

Etant donné \(\theta \in \mathbb R\), notons \(M_{\theta}\) le point du cercle \((\Gamma)\) vérifiant: \[(\vec{i},\overrightarrow{OM}) = \theta\] Alors, nous avons:

  • le cosinus de \(\theta\), noté \(cos\theta\), est l'abscisse du point   \(M_{\theta}\)
  • le sinus de \(\theta\), noté \(sin\theta\), est l'ordonnée du point   \(M_{\theta}\)

En conséquence:

  • \(\forall \space \theta \in \mathbb R, M_{\theta}\) étant à une distance de \(1\) du centre du cercle , on a :
    \[cos²\theta + sin²\theta = 1\]
  • Réciproquement: \(\forall \space (x,y) \in \mathbb R²\) tels que \(x²+y²= 1\), le point de coordonnées \((x,y)\) appartient au cercle trigonométrique \((\Gamma)\), et il existe un réel \({\theta}\) tel que : \[\begin{cases} x= cos\theta \\ y = sin\theta \end{cases}\]
  • Ce réel \(\theta\) est unique si on impose: \( \theta \in [0;2\pi[ \) ou \( \theta \in  ]-\pi; \pi] \)

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2 - Propriétés

Périodicité:

\(\forall \space \theta \in \mathbb R\), les points \(M_{\theta}\) et \(M_{\theta+2k\pi}\) sont confondus. Et on a : 
\[ cos(\theta+2k\pi) = cos\theta \text{   et   } sin(\theta+2k\pi)= sin\theta\]

On notera que si \((\Gamma)\) est le cercle trigonométrique , les 2 applications suivantes sont bijectives: \[ \begin{cases}  [0;2\pi[ & \to & (\Gamma) \\ \theta  & \longmapsto & M_{\theta}  \end{cases} \text{   et   } \begin{cases}  [-\pi;\pi[ & \to & (\Gamma) \\ \theta  & \longmapsto & M_{\theta} \end{cases}\]

 

En conséquence:

\(\forall \space (\theta_1, \theta_2) \in \mathbb R²\) , on a :\[ \begin{cases} cos\theta_1= cos \theta_2 \\ sin \theta_1=  sin \theta_2 \end{cases} \Longleftrightarrow (\exists \space k \in \mathbb Z, \theta_1= \theta_2+2k\pi) \]

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Comparaison \(| sinx | \leq | x | \)

Par définition:

  • \((HM_\theta)=sin\theta\)

  • \(\theta\) est la longueur de l'arc de cercle \((IM_\theta)\)

  • Dans le triangle \(M_\theta HI\), on a:
    \(M_\theta H \leq M_\theta I \Rightarrow sin\theta \leq M_\theta I\)

  • le segment \(M_\theta I\) est inférieur a l'arc de cercle \(M_\theta I\)
    \(M_\theta I \leq \theta\)

En définitive , on a \(sin\theta \leq M_\theta I \leq \theta\)
C 'est d'autant plus vrai avec des valeurs absolues.

\[\forall \space x \in \mathbb R \text{, on a: } |sinx| \leq|x|\]

 

 

 

3 - Rappels

Identité trigonométrique
\[\forall M_\theta (x,y) \in (\Gamma) , \space cos²x + sin²x = 1\]

 

Valeurs particulières
\(cos0=1\) \(sin0 = 0\) \(cos\frac{\pi}{2} = 0\) \(sin \frac{\pi}{2} =1\)

 

Formules d'addition

\(\forall (t,t') \in \mathbb R²\) on a :
\[cos(t+t') = cost.cost'-sint.sint' \\ sin(t+t') = sint.cost'-cost.sint'\]

 

Parité:

\(\forall x \in \mathbb R \) on a :

\[ \begin{align*} cos (-x) = x & \text{ : on dit que la fonction cosinus est paire} \\ sin(-x) = -x  & \text{ : on dit que la fonction cosinus est impaire}  \end{align*}\]

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