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sin et cos

  1. Rappels
  2. Dérivabilité
  3. Tableau de variation et graphe de g(x)=cos(x)

1 - Rappels

  • Dérivabilité
    • Soient \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\)
    • On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) si \(\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}= l\) avec \(l\) . Ou encore, suite au changement de variable \(h=x-a\) : \(\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}= l\).
      \(l\) est un nombre fini, appelé nombre dérivé en \(a\) . On le note \(f'(a)\)
    • Une fonction \(f\) est dérivable sur l'intervalle \(I\), si elle est dérivable en tout point \(a\) de \(I\)
  • Formules d'addition:
    • sin(a+b) = cosa.sinb + sina.cosb
    • cos(a+b) = cosa.cosb - sina.sinb
    • les formules de trigonométrie en générale
  • Continuité : Soient \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\).
    Si \(f\) est dérivable en \(a\) , alors \(f\) est continue en \(a\)
    Si \(f\) est dérivable sur \(I\) , alors \(f\) est continue sur \(I\)   

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2 - Dérivabilité et Continuité de sinus et cosinus

Dérivabilité de f(x) = sin(x)

Soient \(f\): la fonction définie sur \(\mathbb R\) telle que \(f(x)=sin(x)\), et \(a \in \mathbb R\). Trouvons \(f'(a)\)

\(\begin{align*}f'(a) & =\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} 
= \lim\limits_{h \to 0}\frac{sin(a+h)-sin(a)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0}\frac{sina.cosh + cosa.sinh-sin(a)}{h} 
= \lim\limits_{h \to 0}\frac{sina.\overbrace{(cosh-1)}^{\rightarrow 0} + cosa.sinh}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0}\frac{cosa.sinh}{h} = cosa \times  \underbrace{\lim\limits_{h \to 0}\frac{sinh}{h}}_{\text{à déterminer}}
\end{align*}\)

Déterminons la limite \(\lim\limits_{h \to 0}\frac{sinh}{h}\):

  • \( \mathcal A_1 = \) Aire du triangle \(0M_\theta I\)
    \( \begin{align*} \mathcal A_1 = \frac{OI \times HM_\theta}{2}=\frac{1 \times sin\theta}{2}=\frac{sin\theta}{2} \end{align*}\)
  • \( \mathcal A_2 = \) Aire du secteur angulaire \(0M_\theta I \): la surface d'un cercle est \(\pi \times r²\) pour un secteur d'angle faisant \(2\pi\). On en déduit que la surface d'un secteur angulaire est
    \(\begin{align*} S = \frac{\theta}{2}\times r² \Rightarrow \mathcal A_2= 0M_\theta I = \frac{\theta}{2}\times OI² = \frac{\theta}{2} \end{align*}\)
  • \( \mathcal A_3 = \) Aire du triangle \( \begin{align*} OIJ=\frac{OI \times IJ}{2}= \frac{1 \times tan\theta}{2} = \frac{tan\theta}{2} \end{align*} \)

Alors on a :

\(\begin{align*}  \mathcal A_1  \leq  \mathcal A_2  \leq  \mathcal A_3 & \Rightarrow  \frac{sin\theta}{2}  \leq \frac{\theta}{2}   \leq  \frac{tan\theta}{2} 
 & \Rightarrow sin\theta   \leq  \theta   \leq  tan\theta \\
 & \Rightarrow 1 \leq  \frac{\theta}{sin\theta} \leq  \frac{1}{cos\theta} 
& \Rightarrow  1 \geq  \frac{sin\theta}{\theta}  \geq cos\theta \\
& \Rightarrow   \lim\limits_{x \to 0} 1 \geq    \lim\limits_{x \to 0} \frac{sin\theta}{\theta} \geq  \lim\limits_{x \to 0}  cos\theta
& \Rightarrow  1 \geq    \lim\limits_{x \to 0} \frac{sin\theta}{\theta} \geq  1 \end{align*}\)

Par le théorème des gendarmes , nous avons déterminer que:
\[\lim\limits_{h \to 0}\frac{sinh}{h} \longrightarrow 1\]

Nous avons donc : 

\(\begin{align*}f'(a)=cosa \times \lim\limits_{h \to 0}\frac{sinh}{h}=cosa \times 1 = cosa
\end{align*}\)

\(sinx\) et \( cosx\) sont toutes deux définies sur \(\mathbb R\). Ainsi \(\forall \space a \in \mathbb R, \space f'(a) = cos a\) 
En conséquence: 

\(f:x \mapsto sin x \) est dérivable sur \(\mathbb R\) et sa dérivée est \(f'(x)=cosx, \forall \space x \in \mathbb R\)
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Dérivabilité de g(x) = cos(x)

Soient \(g\): la fonction définie sur \(\mathbb R\) telle que \(g(x)=cos(x)\), et \(a \in \mathbb R\). Trouvons \(g'(a)\)

\(\begin{align*} g'(a) & =\lim\limits_{x \to a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}
= \lim\limits_{h \to 0}\frac{cos(a+h)-cos(a)}{h} \\ 
& = \lim\limits_{h \to 0}\frac{cosa.cosh - sina.sinh-cos(a)}{h} 
= \lim\limits_{h \to 0}\frac{cosa( cosh-1)- sina.sinh}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \bigg( cosa \times \frac{cosh-1}{h} - sina \times \underbrace{ \frac{sinh}{h}}_{\rightarrow 1} \bigg) = cosa \times \lim\limits_{h \to 0} \bigg( \underbrace{\frac{cosh-1}{h}}_{\text{à déterminer}} \bigg) - sina  \end{align*}\) 

Déterminons la limite \(\lim\limits_{h \to 0} \frac{cosh-1}{h}\)

\(\begin{align*} \lim\limits_{h \to 0} \frac{cosh-1}{h} & = \lim\limits_{h \to 0} \frac{cosh-1}{h} \times \frac{cosh+1}{cosh+1} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{cos²h-1}{h(cosh+1)} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \frac{-sin²h}{h(cosh+1)} = \frac{-sinh}{h} \times \frac{sinh}{cosh+1} \\
& =-1 \times \lim\limits_{h \to 0} \frac{\overbrace{sinh}^{\to 0}}{cosh+1} = 0
\end{align*}\)

\[\lim\limits_{h \to 0} \frac{cosh-1}{h}=0\]

Nous avons donc : 

\(\begin{align*}g'(a)=cosa \times \lim\limits_{h \to 0} \bigg( \frac{cosh-1}{h} \bigg)- sina =cosa \times 0 - sina = -sina
\end{align*}\)

\(cosx\) et \( sinx\) sont toutes deux définies sur \(\mathbb R\). Ainsi \(\forall \space a \in \mathbb R, \space g'(a) = - sin a\) 
En conséquence: 

\(g:x \mapsto sin x \) est dérivable sur \(\mathbb R\) et sa dérivée est \(f'(x)=- sinx , \forall \space x \in \mathbb R\)
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Continuité de \(f(x) = sinx\) et \(g(x)=cosx\)

Les fonctions  \(f(x) = sinx\) et \(g(x)=cosx\) sont dérivables sur \(\mathbb R\).

Elles sont donc continues sur \(\mathbb R\) 

(Attention, la réciproque n'est pas vraie !!! )

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Dérivées à l'ordre \(n\)

Comme les fonctions \(f(x) = sinx\) et \(g(x)=cosx\) sont définies et dérivables sur \(\mathbb R\) et que la dérivée de l'une amène à l'autre, chacune d'elle est dérivable \(n\) fois (\(n \space \in \mathbb N\)) et on a: 

\(\forall \space n \in \mathbb N\), et \(\forall \space x \in \mathbb R\)
\[ sin^{(n)}x= sin(x+\frac{n\pi}{2}) \text{   et   }cos^{(n)}x= cos(x+\frac{n\pi}{2})\]

 

Démonstration par récurrence:
Soit \(\mathcal P_n\) la proposition :\(\begin{cases} sin^{(n)}x= sin(x+\frac{n\pi}{2}) \\cos^{(n)}x= cos(x+\frac{n\pi}{2}) \end{cases}\)

  • Initialisation:
    pour \(n=0: \begin{cases} sin^{(0)}x  =sin(x+\frac{0\pi}{2}) = sinx \\
    cos^{(0)}x=  cos(x+\frac{0\pi}{2}) = cos x \end{cases}\)
    La propriété \(\mathcal P_n\) est vraie au rang \(n=0\)

  • Hérédité
    Supposons que \(\mathcal P_n\) soit vraie: \(\begin{cases} sin^{(n)}x  =sin(x+\frac{n\pi}{2})  \\cos^{(n)}x=  cos(x+\frac{n\pi}{2})  \end{cases}\)
    et Calculons \(sin^{(n+1)}x\) et \(cos^{(n+1)}x\)

    \(\begin{cases} sin^{(n+1)}x = (sin^{(n)}x)' =[sin(x+\frac{n\pi}{2}) ]' = cos(x+\frac{n\pi}{2}) \\
    cos^{(n+1)}x=  (cos^{(n)}x)' =[cos(x+\frac{n\pi}{2}) ]' = -sin(x+\frac{n\pi}{2}) \end{cases}\)   

    et on sait que \(\begin{cases}cos(a) = sin(a+\frac{\pi}{2})  \\ sin(a)   = - cos(a+\frac{\pi}{2})  \end{cases}\) alors:

    \(\begin{cases} sin^{(n+1)}x = cos(x+\frac{n\pi}{2})  =sin\big((x+\frac{n\pi}{2})+\frac{\pi}{2}\big) = sin(x+\frac{(n+1)\pi}{2}) \\
    cos^{(n+1)}x= -sin(x+\frac{n\pi}{2})=  cos\big(x+\frac{n\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\big) =cos(x+\frac{(n+1)\pi}{2}) \end{cases}\)
  • Conclusion:
    \(\mathcal P_n\) est vrai au rang \(n=0\), si elle est vraie au rang \(n\), alors elle est vraie au rang \(n+1\). Donc \(\mathcal P_n\) est vraie \(\forall \space n \in \mathbb N\) 

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3 - Etude et représentations graphique

g(x) = cos(x)

Soit le fonction \(\begin{cases}g: & \mathbb R &  \to [-1;1] \\ & x & \mapsto cos(x) \end{cases}\)

  • \(g(x+2k\pi)=g(x)\): la fonction \(g\) est \(2\pi\)-périodoque. Il suffit de l'étudier sur \([-\pi;\pi]\)
  • \(g(-x)=g(x)\): la fonction \(g\) est paire,  la courbe de \(g\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées \((O, \vec j)\). Il nous suffit de l'étudier sur \([0;\pi]\), la partie de \([-\pi,0]\) sera déduite par symétrie par rapport à \((O, \vec j)\)
  • \(g(\pi-x)= -g(x)\): Il existe une symétrie centrale de centre \((\pi/2; 0 )\). Il nous suffit de faire une étude sur \([0;\frac{\pi}{2}]\) et déduire la partie de \([\frac{\pi}{2} , \pi]\) par symétrie.
  • \(g(x) =cosx\) est dérivable sur \([0, \frac{\pi}{2}]\) et \(g'(x) = -sinx\) 
    • \(g'(x) \leq 0 \) sur \([0,\frac{\pi}{2}]\): la fonction est décroissante sur \([0,\frac{\pi}{2}]\)
    • \(g(0) = 1 \) et \(g'(0) = 0\) : une tangente horizontale en \((0;1)\)
    • \(g(\frac{\pi}{2})=0\) et \(g'(\frac{\pi}{2})= 1\) : une tangente oblique en \(( \frac{\pi}{2};0)\)
Tableau de variations:

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f(x) = sinx

Soit le fonction \(\begin{cases}f: & \mathbb R &  \to [-1;1] \\ & x & \mapsto sin(x) \end{cases}\)

  • \(f(x+2k\pi)=f(x)\): la fonction est \(2\pi\)-périodoque. Il suffit de l'étudier sur \([-\pi;\pi]\)
  • \(f(-x)=-f(x)\): la fonction \(f\) est impaire,  la courbe de \(f\) est symétrique par rapport au point \(O\). Il nous suffit de l'étudier uniquement sur \([0;\pi]\), la partie de \([-\pi,0]\) sera déduite par symétrie centrale par rapport à \(O\).
  • \(f(\pi-x)= f(\pi)\): Il existe une symétrie axiale d'axe \(x=\frac{\pi}{2}\). Il nous suffit de faire une étude sur \([0;\frac{\pi}{2}]\), la partie de \([\frac{\pi}{2},\pi]\) sera déduite par symétrie par rapport à \(x=\frac{\pi}{2}\).
  • \(f(x) =sinx\) est dérivable sur \([0, \frac{\pi}{2}]\) et \(f'(x) = cosx\)
    • \(f'(x) \geq 0 \) sur \([0,\frac{\pi}{2}]\): la fonction est croissante sur \([0,\frac{\pi}{2}]\)
    • \(f(0) = 0 \) et \(f'(0) = 1\) : une tangente oblique en \((0;0)\)
    • \(g(\frac{\pi}{2})=1\) et \(g'(\frac{\pi}{2})= 0\) : une tangente horizontale en \(( \frac{\pi}{2};1)\)
Tableau de variations:

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Remarque:

On sait que: \( \forall \space x \in \mathbb R, \space cos(x+\frac{\pi}{2}) = sinx\). donc on aurait pu simplement faire une translation du graphe de cosinus de \(\frac{\pi}{2}\) 

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