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Les fonctions réciproques arcsin, arcos , et arctan

1 - Rappels sur les fonctions réciproques

    1. Condition d 'existence d'une fonction réciproque
    2. Bijectivité
    3. Continuité
    4. Monotonie
    5. Propriétés des fonctions réciproques

  2. Ensemble de définition \(\mathcal D_f\)
  3. Les Dérivées
  •  
  • Calculs de :
    • \(Arctan(tan\theta)\)
    • \(tan(Arctan\theta)\)
  • Dérivée de \(tan^{-1}\)
  • Tableau de variation
  • Graphe

1 - Rappels sur les fonctions réciproques

a - Condition d'existence d'une fonction réciproque :
Pour qu'une fonction admette une fonction réciproque sur un intervalle, il faut et il suffit qu'elle soit bijective, donc elle doit être à la fois continue et strictement monotone sur l'intervale de définition.

 

b - Bijectivité
Chaque nombre de l'ensemble d'arrivée doit avoir un et un seul antécédent par la fonction.

 

c - Continuité

La courbe de la fonction ne doit pas avoir de coupure ou de "saut".

 

d - Monotonie
La fonction doit toujours monter ou toujours descendre. Si elle change de sens (par exemple si elle descend puis remonte comme la fonction carrée sur \(\mathbb{R}\)), un même résultat peut correspondre à plusieurs départs différents, ce qui empêche de revenir en arrière.

 

e - Propriétés des fonctions réciproques
  • Notation: Soit \(f\) une fonction. Sa réciproque est notée: \(f^{-1}\)
  • Action inverse: si \(f(x) = y \) alors \(f^{-1}(y) = x\)
  • Propriété graphique: les courbes représentatives de \(f\) et de \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la
    droite d'équation \(x=y\)

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2 - Domaines de définition:  \(\mathcal D_f\)

Il s'agit dans ce chapitre de déterminer les ensembles de départ et d'arrivée qui permettrons d'obtenir des fonctions \(sin\), \(cos\) et \(tan\) bijectives. Ce qui n'est pas le cas si l'ensemble de départ des fonctions \(sin\), \(cos\) et \(tan\) (donc l 'ensemble d'arrivée de la fonction inverse) est \(\mathbb R\).

a - arcsin
 

 

b - arccos
 

 

a - arctan
 

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3 - Les dérivées

a - arcsin
 

 

b - arccos
 

 

a - arctan
 

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