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Des fonctions sinus et cosinus on peut déduire certaines propriétés de la fonction tangente. Certaines de ces propriétés ont été établies dans le chapitre Trigonométrie.
Soit le fonction \(\begin{align*} \begin{cases}h: & \mathbb R- \{\pi/2+ k\pi\}& \to \mathbb R \\ & x & \mapsto tan(x) = \frac{sinx}{cosx} \text { avec }cosx \neq 0 \end{cases} \end{align*}\)
- \(\begin{align*} tan(x+\pi) = \frac{tanx+tan\pi}{1+tanx.tan\pi}= \frac{tanx + 0}{1+tanx\times 0}= tanx \end{align*}\): la fonction tangente est \(\pi\)-périodique
- \(\begin{align*}tan(-x) = \frac{sin(-x)}{cos(-x)}=\frac{-sin(x)}{cos(x)}=-tan(x) \end{align*}\). La fonction \(h\) est impaire. Elle est donc symétrique par rapport a l'origine.
- On pourra se limiter à une étude pour \(x \in ]0;\pi/2[\)
- \(\begin{align*}h(x)=\frac{sinx}{cosx} \end{align*}\) est dérivable comme le quotient de 2 fonctions \(f\) et \(g\) dérivables, est sa dérivée est \(\begin{align*}h'(x)= 1+ tan²(x) = \frac{1}{cos²x} \end{align*}\)
- \(h'(x) \geq0\) sur \(]0;\pi/2[\) donc la fonction \(h\) est croissante sur \( ]0;\pi/2[\)
- \(h(0) = 0\) et
- \( h'(0)=1+0² = 1\) : la fonction \(h\) a une tangente oblique a l'origine
- \(\begin{align*} \lim\limits_{x \to \pi/2}h(x) = \lim\limits_{x \to \pi/2} \frac{sinx}{cosx}= \frac{1}{+/-0 }=+/-\infty \end{align*}\)
- \(\begin{align*} \lim\limits_{x \to \pi/2}h'(x) = \lim\limits_{x \to \pi/2} 1+tan²x= 1 +/-\infty = +/- \infty \end{align*}\)
la fonction \(h\) a une asymptote verticale en \(\frac{\pi}{2} \)
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