Les intégrales de Wallis sont un incontournable des sujets des concours. Ces intégrales, dont la fonction intégrande est une fonction trigonométrique, permettent aux concepteurs de sujets de tester les candidats sur des techniques subtiles d’analyse. Cependant, rares sont les candidats qui n’auront jamais travaillé dessus avant de passer les concours. Mais une piqûre de rappel peut parfois s’avérer indispensable !

Les intégrales de Wallis se définissent comme suit:  \(\begin{align*}\forall n \in \mathbb N \end{align*}\),

\(\begin{align*} I_n=\int_0^{\pi/2}(sint)^n dt\end{align*}\) \(\begin{align*} J_n=\int_0^{\pi/2}(cost)^n dt\end{align*}\), \(\begin{align*} K_n=\int_0^{\pi/2}(tant)^n dt \end{align*}\)

Les Intégrales de Wallis sont de grands classiques en 1ère année post bac. A tel point que les résultats obtenus peuvent pratiquement être utilisés comme étant issus d'un cours, donc utilisables tels quels . Pourtant il faudra redémontrer les assertions qui seront utilisées si le sujet porte précisément sur les Intégrales de Wallis. 

La difficulté du devoir dépendra du nombre d'indications qui seront données pour suivre le chemin et arriver à la conclusion. Je vous propose 3 énoncés. 

 

Remarque: \(I_n\), \(J_n\), et \(K_n\) sont de classe\(C^1\) sur leurs domaines de définition respectifs:

Avec le changement de variable \( x=pi/2-t\), on démontre que \(I_n=J_n\) \(\begin{align*} \begin{cases} x=\pi/2-t \\ \\ dx=-dt  \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \xrightarrow{t \rightarrow 0} pi/2 \\ \\ x \xrightarrow{t \rightarrow pi/2} 0  \end{cases} \end{align*}\) \(\begin{align*}I_n & = \int_{t=0}^{t=\pi/2} sin^nt.dt = \int_{x=\pi/2}^{x=0} sin^n(\pi/2-x)(-dx) \\ & = -\int_{x=\pi/2}^{x=0} sin^n(\pi/2-x)dx = \int_{x=0}^{x=\pi/2} sin^n(\pi/2-x)dx \\ & = \int_{x=0}^{x=\pi/2} cos^n(x)dx = J_n \end{align*}\)