Exercice 100
\(\begin{align*} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{1+sinx}dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Changement de variable
- Trigonométrie
- Trigonométrie notation anglosaxonne
Remarquons tout d'abord que l'intégrande est bien définie en \(0\) et \(\pi / 2\) et que l 'intégrale est bien définie sur \([0;\pi/2]\)
\(\begin{align*} I & = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{1+sinx}dx \\
& = \int_0^{\pi/2} \frac{1-sinx}{(1+sinx)(1-sinx)}dx \end{align*}\)
Attention : \((1-sinx)\) n'est pas définie en \(\pi/2\). En faisant cette opération, cela revient a multiplier par \(\frac{0}{0}\), ce qui n'est pas vraiment autorisé. Nous risquons de nous retrouver avec une forme indéterminée a la fin du calcul.
\(\begin{align*} I & = \int_0^{\pi/2} \frac{1-sinx}{(1-sin²x)}dx \\
& = \int_0^{\pi/2} \frac{1-sinx}{cos²x}dx \\0
& = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{cos²x}dx + \int_0^{\pi/2} \frac{-sinx.dx}{cos²x} \\
& = \bigg[tanx\bigg]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} \frac{-sinx.dx}{cos²x} \\
& = \bigg[tanx\bigg]_0^{\pi/2} + I_2 \end{align*}\)
Posons le changement de variable:
\(\begin{align*} & \begin{cases} u = cosx \Rightarrow du = -sinx.dx \\
x= 0 & \Rightarrow u=1 \\ x=\pi/2 & \Rightarrow u=0 \end{cases} \\
I_2 & = \int_{x=0}^{x=\pi/2} \frac{-sinx.dx}{cos²x} \\
& = \int_{u=1}^{x=0} \frac{du}{u²} \\
& = \int_{x=0}^{u=1} -\frac{du}{u²} \\
& = \bigg[\frac{1}{u}\bigg]_0^1= \bigg[\frac{1}{cosx}\bigg]_{\pi/2}^0 = \bigg[-\frac{1}{cosx}\bigg]_0^{\pi/2}\end{align*}\)
Nous sommes dans une forme indéterminée due à la manipulation avec le \((1-sinx)\) qui nous amène a faire un \(\frac{0}{0}\). Pourtant cette intégrale est bien définie. Essayons de lever l'indétermination avec d'autres calculs......... En effet chaque forme \(\bigg[tanx\bigg]_0^{\pi/2}\) et \(\bigg[\frac{1}{u}\bigg]_0^1\) sont indéterminées, mais la combinaison des 2 est elle toujours indéterminée ?
\(\begin{align*} I & = \bigg[tanx\bigg]_0^{\pi/2}= \bigg[1/u\bigg]_0^1+ \bigg[-\frac{1}{cosx}\bigg]_0^{\pi/2} \\
& = \bigg[tanx -\frac{1}{cosx}\bigg]_0^{\pi/2} = \bigg[\frac{sinx}{cosx} -\frac{1}{cosx}\bigg]_0^{\pi/2} \\
& = \bigg[\frac{sinx-1}{cosx}\bigg]_0^{\pi/2} = \bigg[\frac{(sinx-1)(sinx+1)}{cosx(sinx+1)}\bigg]_0^{\pi/2} \\
& = \bigg[\frac{sin²x-1}{cosx(sinx+1)}\bigg]_0^{\pi/2} = \bigg[\frac{-cos²x}{cosx(sinx+1)}\bigg]_0^{\pi/2} \\
& = \bigg[\frac{-cosx}{sinx+1}\bigg]_0^{\pi/2} \end{align*}\)
L'indétermination est levée .
\(\begin{align*} I & = \bigg[\frac{-cosx}{sinx+1}\bigg]_0^{\pi/2} = 0-(-1)=1 \end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I & = \bigg[\frac{-cosx}{sinx+1}\bigg]_0^{\pi/2} = 1 \end{align*}}\]
Exercice 99
\(\begin{align*} \int \frac{\sqrt{tanx}}{sin(2x)}dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Changement de variable
- Trigonométrie
- Trigonométrie notation anglosaxonne
\(\begin{align*} I & = \int \frac{\sqrt{tanx}}{sin(2x)}dx \end{align*}\)
Posons le changement de variable:
\(\begin{align*} & \begin{cases} u = \sqrt{tanx} \Rightarrow tan x = u² \\
sec²x.dx =2u.du \Rightarrow dx = \frac{2u.du}{sec²x} \end{cases} \\
I & = \int \frac{u}{sin(2x)}\frac{2u.du}{sec²x} \\
& = \int \frac{u}{\cancel{2}sinx.\cancel{cosx}} \times cos^{\cancel{2}}x.\cancel{2}u.du \\
& = \int \frac{u²cosx}{sinx}du \\
& = \int \frac{u²}{tanx}du \\
& = \int \frac{u²}{u²}du = \int du \\
& = u + C = \sqrt{tanx}+C
\end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I & = \sqrt{tanx}+C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]
Exercice 98
\(\begin{align*} \int \sqrt{1+e^x}dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Changement de variable
- Astuce du -1/+1
- Décomposition en éléments simples
\(\begin{align*} I & = \int \sqrt{1+e^x}dx \end{align*}\)
Posons le changement de variable:
\(\begin{align*} & \begin{cases} u = \sqrt{1+e^x} \Rightarrow e^x = u²-1 \\
e^x dx =2u.du \Rightarrow dx = \frac{2u.du}{e^x} = \frac{2u}{u²-1}du \end{cases} \\
I & = \int u \times \frac{2u}{u²-1}du\\
& = 2 \int \frac{u²}{u²-1}du =2 \int \frac{u²-1+1}{u²-1}du\\
& = 2 \int du + 2\int\frac{1}{u²-1}du = \\
& = 2 \int du + 2\int\frac{1}{(u-1)(u+1)}du \\ \end{align*}\)
Décomposition en éléments simples:
\(\begin{align*} & \frac{1}{(u-1)(u+1)} = \frac{a}{u-1} + \frac{b}{u+1} \\ \\
& \begin{cases} \times (u-1) \text{ et }u=1 & \Rightarrow & a=1/2 \\
\times (u+1) \text{ et }u=-1 & \Rightarrow & b=-1/2
\end{cases} \\ \\
I & = 2 \int du + 2\int\frac{1}{(u-1)(u+1)}du \\
& = 2 \int du + \cancel{2}\int\frac{1/\cancel{2}}{(u-1)}du -\cancel{2} \int \frac{1/\cancel{2}}{u+1}du \\
& = 2u+ln(u-1) - ln(u+1) +C \\
& = 2\sqrt{1+e^x}+ln(\sqrt{1+e^x}-1) - ln(\sqrt{1+e^x}+1) +C \\
& = 2\sqrt{1+e^x}+ln \bigg(\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}\bigg)+C \end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I & = 2\sqrt{1+e^x}+ln \bigg(\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}\bigg)+C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]
Exercice 97
\(\begin{align*} \int \frac{1}{1+e^x}dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Méthode 1:
- astuce de calcul (+1/-1)
- Reconnaissance de la forme \(u'/u\)
- Méthode 2:
- Changement de variable
- Décomposition en éléments simples
Methode 1:
\(\begin{align*} I & = \int \frac{1}{1+e^x}dx \\
& = \int \frac{1+e^x-e^x}{1+e^x}dx \\
& = \int \frac{1+e^x}{1+e^x}dx- \int \frac{e^x}{1+e^x}dx \\
& = \int dx- \int \frac{e^x}{1+e^x}dx \\
& = \boxed{x-ln(1+e^x) + C} \end{align*}\)
Méthode 2:
Posons: \(u=1+e^x\)
\( \Rightarrow \begin{cases} e^x = u-1 \\ e^xdx =du \Rightarrow dx = \frac{du}{e^x}= \frac{du}{u-1}\end{cases} \)
\(\begin{align*} I & = \int \frac{1}{1+e^x}dx \\
& = \int \frac{1}{u(u-1)}du \end{align*}\)
Décomposition en éléments simples:
\(\begin{align*} & \frac{1}{u(u-1)} = \frac{a}{u} + \frac{b}{u-1} \\
& \begin{cases} \times (u-1) \text{ et }u=1 & \Rightarrow & b=1 \\
\text {si } u =-1 \Rightarrow 1/2 = -a-1/2 & \Rightarrow & a=-1
\end{cases} \\ \\
I & = \int -\frac{1}{u}du + \int \frac{1}{u-1}du \\
& = -lnu + ln(u-1) +C \\
& = -ln(1+e^x) + ln(\cancel{1}+e^x-\cancel{1}) +C \\
& = \boxed{x-ln(1+e^x) + C} \end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I & = x-ln(1+e^x) + C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]
Exercice 96
\(\begin{align*} \int \sqrt[4]x.dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Primitive de \(x^n\)
\(\begin{align*} I & = \int \sqrt[4]x.dx \\
& = \int x^{1/4}dx \\
& = \frac{4}{5}x^{5/4}+C \end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I & = \frac{4}{5}x^{5/4}+C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]