\( \begin{align*}  \int ln(x+\sqrt{1+x²})dx \end{align*}\)

\( \begin{align*}I & = \int ln(x+\sqrt{1+x²})dx \\
& = \int sinh^{-1}x.dx \text{             ( voir exercice 44)} \end{align*} \)

On peut procéder à une IPP:

\( \begin{align*}I & = x.sinh^{-1}x - \int \frac{x}{\sqrt{1+x²}}dx\\
& =  x.sinh^{-1}x - \sqrt{1+x²} +C\end{align*}\)

On peut vérifier en dérivant \( \sqrt{1+x²}\), ce qui donne: \(\frac{x}{\sqrt{1+x²}}\)

\[\boxed{\begin{align*} I =x.sinh^{-1}x - \sqrt{1+x²} +C(\in \mathbb R)  \end{align*}} \]

\( \begin{align*}  \int \frac{1}{\sqrt{x²+1}}.dx \end{align*}\)

Remarques:

• \(\bigg(sin^{-1}x \bigg)'=\frac{1}{\sqrt{1-x²}}\)
• \(\bigg(sinh^{-1}x \bigg)'=\frac{1}{\sqrt{1+x²}}\)

\( \begin{align*} I & = \int \frac{1}{\sqrt{x²+1}}.dx \\
& =sinh^{-1}x+C \end{align*}\)

\[\boxed{\begin{align*} I=sinh^{-1}x+C(\in \mathbb R) \end{align*} }\]

On aurait aussi pu faire un changement de variable:
\( x = tan\theta \Rightarrow dx = \frac{1}{cos²\theta} d\theta = 1 + tan²\theta  d\theta\)

Dans ce cas , on trouverait \(I = ln(x+\sqrt{1+x²})\)
On retrouvera cette forme dans l'exercice 45........

\( \begin{align*}  \int sinh^3x.dxdx \end{align*}\)

\( \begin{align*}  I & = \int sinh^3x.dx \\
& = \int sinh²x.sinhx.dx \\
& = \int (cosh²x-1)sinhx.dx \\
& = \int cosh²x.sinhx.dx - \int sinhx.dx \\
& = \frac{1}{3}cosh^3x-coshx +C \end{align*}\)

\[\boxed{ \begin{align*} I = \frac{1}{3}cosh^3x-coshx +C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]

\( \begin{align*}  \int sinh²(x).dx \end{align*}\)

\( \begin{align*} sinh²x & = \big( \frac{e^x-e^{-x}}{2} \big)^2 \\
& = \frac{e^{2x}-2 + e^{2x}}{4}  \\
& = -\frac{1}{2}+ \frac{e^{2x}+ e^{2x}}{4} \\
& = -\frac{1}{2} + \frac{cosh(2x)}{2} \\ \\
\Rightarrow I & = \int -\frac{1}{2} + \frac{cosh(2x)}{2}.dx \\
& = -\frac{x}{2} + \frac{sinh(2x)}{4} + C \end{align*}\)
 \[ \boxed{\begin{align*}  I =-\frac{x}{2} + \frac{sinh(2x)}{4} + C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]