Exercice 60

\(\begin{align*} \int_{-1}^1 \sqrt{4-x²}.dx \end{align*}\)

Connaissances:

  • Intégrale d'une fonction paire
  • Equation d'un cercle
  • surface d'un triangle
  • les angles dans un triangle
  • surface d'un secteur de rayon \(r\) et d'angle \(\theta\)

\( \begin{align*} I & = \int_{-1}^1 \sqrt{4-x²}.dx \end{align*}\)

Remarque: l'intégrande est une fonction paire:

\(\begin{align*}I & = \int_{-1}^1 \sqrt{4-x²}.dx \\
& = 2 \int_0^1 \sqrt{4-x²}.dx \\ 
\end{align*}\)

Résolution par raisonnement géométrique (faire le dessin):

  • \(y = \sqrt{4-x²}\) est l 'equation d'un cercle centré en \(O\) et de rayon \(r=2\)
  • L'intégration entre \(-2\) et \(2\) est facile: c 'est le demi disque de rayon \(2\)
  • Ici on intègre entre \(-1\) et \(1\)  
  • on se retrouve avec
    • un triangle de base \(1\) et de hauteur \(\sqrt{4-1²}= \sqrt 3\), donc de surface \(\sqrt 3 / 2 \)
      c 'est donc un triangle avec des angles 90°, 60°, 30°
    • une part de pizza de rayon \(2\) et d 'angle  30° = \(\pi / 6\)
      dont la surface est \(1/2 \times r² \theta = 1/2 \times 2² \times \pi/6\)

On en déduit la surface totale :

\(\begin{align*}I & = 2 \times \text{(surface du triangle + surface de la part de pizza)}  \\
& = 2 \times ( \sqrt3 /2 + 1/2 \times 2² \times \pi/6) \\
& = \sqrt 3 + 2\pi/3 \end{align*}\) 

\[\boxed {\begin{align*} I =\sqrt 3 + 2\pi/3 \end{align*}}\]
 

 

Exercice 59

\(\begin{align*} \int x² \sqrt{x+4}.dx \end{align*}\)

Connaissances:

  • Changement de variable
  • Primitives de polynômes

\( \begin{align*} I & = \int x² \sqrt{x+4}.dx \end{align*}\)

Faisons le changement de variable \(u=x+4 \Rightarrow dx=du\)

\(\begin{align*}I & = \int x² \sqrt{x+4}.dx \\
& = \int (u-4)² \sqrt u .du \\
& = \int (u²-8u+16)\sqrt u .du \\
& = \int \big[u^{5/2}-8u^{3/2} + 16u^{1/2} \big] du \\
& = \frac{2}{7}u^{7/2}-8 \frac{2}{5}u^{5/2}+16 \frac{2}{3}u^{3/2} +C \\
& = \frac{2}{7}(x+4)^{7/2}- \frac{16}{5}(x+4)^{5/2}+\frac{32}{3}(x+4)^{3/2} +C \\
\end{align*}\)

 

\[\boxed {\begin{align*} I =\frac{2}{7}(x+4)^{7/2}- \frac{16}{5}(x+4)^{5/2}+\frac{32}{3}(x+4)^{3/2} +C (\in \mathbb R) \end{align*}}\]
 

 

Exercice 58

\(\begin{align*} \int \frac{1-cosx}{1+cosx}.dx \end{align*}\)

Connaissances:

  • trigonométrie
  • Trigonométrie notation anglosaxonne

\( \begin{align*} I & = \int \frac{1-cosx}{1+cosx}.dx \end{align*}\)

On pourrait multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur , cela fonctionnerait. Je vous propose ici une méthode plus rapide:
Remarques:

  • \(cos²x = \frac{1}{2}(1+cos(2x))\)
  • \(sin²x=\frac{1}{2}(1-cos(2x))\)

\( \begin{align*} I & = \int \frac{1-cosx}{1+cosx}.dx \\
& = \int \frac{2sin² \frac{x}{2}}{2cos²\frac{x}{2}}.dx \\
& = \int tan²\frac{x}{2}.dx \\
& = \int \big[ sec²\frac{x}{2}-1 \big]dx \\
& = 2tan\frac{x}{2} - x + C
\end{align*}\)

 

\[\boxed {\begin{align*} I =2tan\frac{x}{2} - x + C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]
 

Exercice 57

\(\begin{align*} \int sec^{-1}x.dx \end{align*}\)

Connaissances:

  • trigonométrie
  • Trigonométrie notation anglosaxonne
  • Intégration par partie
  • Changement de variable

\( \begin{align*} I & = \int sec^{-1}x.dx \end{align*}\)

Procédons à une IPP

  D   I
\(+\) \(sec^{-1}x\)   \(1\)
    \(\searrow\)  
\(-\) \(\frac{1}{x \sqrt{x²-1}}\) \(\rightarrow\) \(x\)


\( \begin{align*} I & =  x.sec^{-1}x - \int \frac{x}{x \sqrt{x²-1}}.dx \\
& =  x.sec^{-1}x - \int \frac{1}{ \sqrt{x²-1}}.dx \\
& x = sec \theta \Rightarrow dx= sec \theta . tan \theta . d\theta \\
I & = x.sec^{-1}x- \int \frac{1}{\sqrt{sec²\theta}-1}sec \theta . tan \theta . d\theta \\
& = x.sec^{-1}x- \int \frac{1}{\sqrt{tan²\theta}}sec \theta . tan \theta . d\theta \\
& = x.sec^{-1}x- \int \frac{1}{tan \theta}sec \theta . tan \theta . d\theta \\
& = x.sec^{-1}x- \int sec \theta . d\theta \\
& = x.sec^{-1}x- ln \lvert sec \theta + tan \theta \rvert+ C  \\
\end{align*}\)

\(  \begin{align*} \begin{cases}  x = sec \theta \Rightarrow cos \theta = \frac{1}{x} \\
 tan \theta = \sqrt{x²-1} \end{cases} \\ \\
I  = x.sec^{-1}x- ln \lvert x + \sqrt{x²-1} \rvert+ C\end{align*}\)

 

\[\boxed {\begin{align*}I  = x.sec^{-1}x- ln \lvert x + \sqrt{x²-1} \rvert+ C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]
 

Exercice 56

\(\begin{align*} \int x.secx.tanx.dx \end{align*}\)

Connaissances:

  • trigonométrie
  • Trigonométrie notation anglosaxonne
  • Intégration par partie

\( \begin{align*} I & = \int x.secx.tanx.dx \end{align*}\)

Procédons à une IPP

  D   I
\(+\) \(x\)   \(secx.tanx\)
    \(\searrow\)  
\(-\) \(1\)   \(secx\)
    \(\searrow\)  
\(+\) \(0\) \(\rightarrow\) \(ln \lvert secx+tanx \rvert\)


\( \begin{align*} I & = \int x.secx.tanx.dx \\
& = x.secx - ln \lvert secx+tanx \rvert +C \\
\end{align*}\)

 

\[\boxed {\begin{align*} I =x.secx - ln \lvert secx+tanx \rvert +C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]
 
  1. Exercice 55
  2. Exercice 50
  3. Exercice 49
  4. Exercice 48

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