\begin{align*}
C & = A.cosx+B.sinx \\
& = \sqrt{A²+B²}\bigg( \frac{A}{\sqrt{A²+B²}}.cosx+\frac{B}{\sqrt{A²+B²}}.sinx \bigg) & \Leftarrow \text{multiplier en haut et en bas par }\sqrt{A²+B²} \\
& = \rho.\bigg( \frac{A}{\rho}.cosx+\frac{B}{\rho}.sinx \bigg) & \Leftarrow \text{on pose }\rho=\sqrt{A²+B²} \\
& = \rho ( cos\phi.cosx + sin\phi.sinx ) & \Leftarrow \text{avec} \begin{cases} \frac{A}{\rho}=cos\phi \\ \frac{B}{\rho} =sin\phi \\ \text{et }\frac{A}{\rho}²+\frac{B}{\rho}²= sin²\phi+cos²\phi=1 \end{cases} \\
& = \rho.cos(\phi-x)
\end{align*}

\[\boxed{ A.cosx+B.sinx  =\rho.cos(\phi-x) \text{ avec  : } \\  \begin{cases}  \rho=\sqrt{A²+B²} \text{ ou } \rho²=A²+B² \\ cos\phi=\frac{A}{\rho} \end{cases} } \]

On veut comme résultat: \(C=A.cosx+B.sinx=R.sin(x+\phi)\)

Et en utilisant les formules d'addition:

\begin{align*} R.sin(x+\phi) & =  R.cosx.sin\phi+R.sinx.cos\phi  \\ & = (R.sin\phi).cosx+(Rcos\phi).sinx \\ & =A.cosx+B.sinx \end{align*}

Par identification: \(\begin{cases} A=R.sin\phi \\ B=R.cos\phi \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}tan\phi=A/B \\ A²+B²=R²(cos²\phi+sin²\phi)=R² \end{cases}\)

\[\boxed{  Acosx + Bsinx = Rsin(x+\phi) \\ \text{avec }\begin{cases} \sqrt{A²+B²}=R \\ tan\phi = A/B \end{cases}}\]

Exemple: mettre  \(cosx+sinx\) sous la forme \(R.sin(x+\phi)\)

\(A=1 \text{ et } B=1  \Rightarrow \begin{cases} R=\sqrt{2} \\ tan\phi=1 \Rightarrow \phi = \pi/4 \end{cases}\)

\(cosx+sinx=\sqrt{2}.sin(x+\pi/4)\)

On veut comme résultat: \(C=A.cosx+B.sinx=R.cos(x+\phi)\)

Et en utilisant les formules d'addition:

\(\begin{align*} R.cos(x+\phi) & =  R.cosx.cos\phi+R.sinx.sin\phi  \\ & = (R.cos\phi).cosx+(Rsin\phi).sinx \\ & =A.cosx+B.sinx \end{align*}\) 

Par identification: \(\begin{cases} A=R.cos\phi \\ B=R.sin\phi \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}tan\phi=B/A \\ A²+B²=R²(cos²\phi+sin²\phi)=R² \end{cases}\)

\[\boxed{  Acosx + Bsinx = Rcos(x+\phi) \\ \text{avec }\begin{cases} \sqrt{A²+B²}=R \\ tan\phi = B/A \end{cases}}\]

On notera la symétrie de \(tan\phi\) par rapport a la méthode 2.

Exemple: mettre  \(cosx+sinx\) sous la forme \(R.cos(x+\phi)\)

\(A=1 \text{ et } B=1  \Rightarrow \begin{cases} R=\sqrt{2} \\ tan\phi=1 \Rightarrow \phi = \pi/4 \end{cases}\)

\(cosx+sinx=\sqrt{2}.cos(x+\pi/4)\)

Connaissances pour la démonstration:

• Formules d'addition:
  • cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb
  • cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb

En additionnant les 2 équations ci-dessus, on obtient:

\(cos(a-b)+cos(a+b)=2.cosa.cosb\)

Et donc en divisant a droite et a gauche par 2, il vient:

 \[\boxed{ cosa.cosb=\frac{cos(a-b)+cos(a+b)}{2}}\]

En particulier, si \(a=b\), on retrouve \(cos²a=\frac{1+cos(2a)}{2}\), une formule de multiplication des angles 

Connaissances pour la démonstration:

• Formules d'addition:
  • cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb
  • cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb

En soustrayant les 2 équations ci-dessus, on obtient:

\(2.sina.sinb=cos(a-b)-cos(a+b)\)

Et donc en divisant par 2 à droite et à gauche, il vient:

\[\boxed{sina.sinb=\frac{cos(a-b)-cos(a+b)}{2}} \]

En particulier, si \(a=b\), on retrouve \(sin²a=\frac{1-cos(2a)}{2}\), une formule de multiplication des angles 

Connaissances pour la démonstration:

• Formules d'addition:
  • sin(a+b)=sina.cosb+sinb.cosa
  • sin(a-b)=sina.cosb-sina.cosb

En additionnant les 2 équations ci-dessus, on obtient:

\(sin(a+b)+sin(a-b) = 2sina.cosb\)

\[\boxed{sina.sinb=\frac{sin(a+b)+sin(a-b)}{2}}\]

\[-\alpha\]

\[ cos(-\alpha)=cos(\alpha)\] paire

\[sin (-\alpha)=-sin(\alpha) \]

 impaire

\[\alpha + 2k\pi\]

\[ cos(\alpha+ 2k\pi)=cos(\alpha)\] \(2\pi\) périodique

\[sin (\alpha+ 2k\pi)=sin(\alpha) \]

\(2\pi\) périodique

\[ cos(\pi-\alpha)=-cos(\alpha)\]

Appliquons le Théorème de Pythagore dans le triangle (OHB). Alors:

• \(OB² = OH² + HB² = OH² + OI² = cos²\alpha + sin²\alpha\) 
• \(OB²=1\) car dans le cercle Unité, le rayon r =1.

Et pour finir:

\[\boxed{ \begin{align*} cos²\alpha + sin²\alpha = 1 \end{align*}}\]

Connaissances:

• identité remarquable: \(\begin{align*} cos²\alpha+sin²\alpha=1 \end{align*}\)
• Définition: \(\begin{align*} tan\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha} \end{align*}\)
• Définition: \(\begin{align*} sec\alpha=\frac{1}{cos\alpha} \end{align*}\)

En divisant l'identité remarquable par \(cos²\alpha\) des 2 côtés:

\(\begin{align*}1+\frac{sin²\alpha}{cos²\alpha}=\frac{1}{cos²\alpha} \Leftrightarrow 1+tan²\alpha=\frac{1}{cos²\alpha}=sec²\alpha \end{align*}\)

\[\boxed{1+tan²\alpha=\frac{1}{cos²\alpha}}\]

Connaissances:

• identité remarquable: \(cos²\alpha+sin²\alpha=1\)
• Définition: \(\begin{align*} cotan\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}= \frac{1}{tan\alpha} \end{align*}\)
• Définition: \(\begin{align*} csc\alpha=\frac{1}{sin\alpha} \end{align*}\)

En divisant l'identité remarquable par \(sin²\alpha\) des 2 côtés:

\(\begin{align*}\frac{cos²\alpha}{sin²\alpha}+1=\frac{1}{sin²\alpha} \Leftrightarrow 1+cotan²\alpha=\frac{1}{sin²\alpha}=csc²\alpha \end{align*}\)

\[\boxed{1+cotan²\alpha=\frac{1}{sin²\alpha}}\]