\(\begin{align*} I & = \int log_2 x.dx \\
& = \int \frac{lnx}{ln2}dx \\
& = \frac{1}{ln2} \int lnx.dx \\
& = \frac{1}{ln2} \int (1 \times lnx)dx \\
\end{align*}\)

Procédons avec une intégration par parties:

\(\begin{align*} I & = \frac{1}{ln2} \int (1 \times lnx)dx \\
& = \frac{1}{ln2}(x.lnx-\int dx) \\
& = \frac{1}{ln2}(x.lnx-x)+C
& = xlog_2x-\frac{x}{ln2}+C
\end{align*}\)

\[\boxed{\begin{align*} I  = x.log_2x-\frac{x}{ln2}+C(\in \mathbb R)
\end{align*}}\]

La fonction logarithme népérien \(ln\) est la primitive de la fonction \(x \mapsto\frac{1}{x}\) qui s'annule en 1, de \(]0;+\infty[\) dans \(]-\infty;+\infty[\) 

On la note: \[f:x\mapsto ln(x)\]

Les anglosaxons peuvent parfois la noter \(f:x\mapsto log(x)\)

Domaine de définition:

\(D_f=]0;+\infty[\)

Continuité et dérivabilité:

\(x\mapsto ln(x)\) est continue et dérivable sur \(]0;+\infty[\)

\(x\mapsto ln(x)\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\) (car \(\frac{1}{x}>0\))

Equations et inéquations:

\(\begin{cases} \forall (x;y) \in \mathbb {R^+_*}² \text{,  } ln(x)=ln(y) \Leftrightarrow x=y \\ \forall (x;y) \in \mathbb {R^+_*}² \text{,  } ln(x)>ln(y) \Leftrightarrow x>y \end{cases}\)

Signe de \(ln(x)\):

\(\begin{cases} ln(x) >0 \Leftrightarrow x>1 \\  ln(x) <0 \Leftrightarrow 0<x<1 \\ ln(x) =0 \Leftrightarrow x=1 \end{cases}\)

Signe de \(ln(x)-ln(y)\):

\(\forall (x;y) \in \mathbb {R^+_*}² \text{ tels que  } x \not= y\), on a \(\frac{lnx-lny}{x-y}>0\)
\(\Rightarrow\) Le signe de \(lnx-lny\) est celui de \(x-y\)

Soient \(x\) et \(y\), 2 réels strictement positifs et \(r \in \mathbb Q\), on a les 6 proriétés suivantes:

\[\begin{align*}
 &\ln(xy)=lnx+lny &&  \text{donc,  }  && ln(x^r)=ln(x\times x \times \cdots x)=r.lnx  \\
  & ln(\frac{1}{x})=ln(x^{-1})= -1 \times lnx =-lnx && \text{donc, } && ln(\frac{x}{y})=ln(x\times\frac{1}{y})=lnx+ln(\frac{1}{y})=lnx-lny\\
 &ln(^n\sqrt{x})=ln(x^{1/n})=\frac{1}{n}lnx \text{,  }(n \in \mathbb N) && \text{ et } &&  ln\big(\prod{x_k}          \big)= \sum{ln(x_k)} \\&&
\end{align*}\]

L'équation \(lnx=1\) admet une unique solution sur \(]0;+\infty[\) qui se note \(e\), avec \(e \simeq 2.71 \dots\)

\(\forall r \in \mathbb Q\) on a : \(ln(e^r)=r.ln(e)=r\)

\[\boxed{ln(e)=1}\]

\[\begin{align*}
&\lim_{x\to+\infty}lnx=+\infty &&   \lim_{x\to+0^+}lnx=-\infty \\
&\lim_{x\to+\infty}\frac{lnx}{x}=0 && \lim_{x\to+\infty}\frac{lnx}{x}=0 &&  \text{   par croissance comparée de } x \text{ et } lnx \\
&\lim_{x\to+\infty}\frac{lnx}{x^n}=0 \text{,  } (n \in \mathbb N) && \lim_{x\to0^+}xlnx=0 && \text{   par croissance comparée de } x \text{ et } lnx \\
&\lim_{x\to1}\frac{lnx}{x-1}=1 && \lim_{x\to0}\frac{ln(x+1)}{x}=1 && \text{  par le taux d 'accroissement (dérivée en 1 point)}
\end{align*}\]

Dérivée de la fonction \(x\mapsto ln(\lvert u(x)\rvert):\)

Si \(u\) est une fonction dérivable et que \(u\) ne s'annule pas sur \(I\), alors:

\(f:x\mapsto ln(\lvert u(x) \rvert)\) est dérivable sur \(I\) et on a:

\[\boxed{\forall x\in I: f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}}\]

Tableau de variation de \(f:x\mapsto ln(x)\):

A venir

Concavité de la courbe de \(x\mapsto lnx\):

\(\forall x>0: f''(x)=-\frac{1}{x²}<0\), alors la courbe représentant la fonction \(ln\) est concave

\[\boxed{f''(x)<0 \text{ et } f:x\mapsto lnx \text{ est concave}}\]

Représentation graphique de \(f:x\mapsto ln(x)\):

a venir

Définition:

\(\forall x>0\), \(log_a(x)= \frac{lnx}{lna}\)  avec \(a>0\) et \(a \not= 1\)

Résultats:

• \(log_e(x)=ln(x)\)
• \(log_a(1)=0\)
• \(log_a(a)=1\)
• \(log_a(a^r)=r\) avec \(r\in\mathbb Q\)

Monotonie de \(f:x\mapsto log_a(x)\)

• Si \(a>1\) alors \(ln(a)>0\) et la fonction \(log_a\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\)
• Si \(0<a<1\) alors la fonction \(log_a\) est strictement décroissante sur \(]0;+\infty[\)

Définition:

\(\forall x>0\), \(log_{10}(x)=Log(x)= \frac{lnx}{ln10}\)  

Cette fonction est souvent utilisée en Physique (électricité, électronique, acoustique.....)

Résultats:

• \(Log(1)=0\)
• \(Log(10)=1\)
• \(Log(10^r)=r\) avec \(r\in\mathbb Q\)

Propriétés:

• \((\forall x>0)(\forall r\in\mathbb Q):\text{  }Log(x)=r \Leftrightarrow x=10^r\)
• \(Log(x)>r \Leftrightarrow x>10^r\)
• \(Log(x)\leq r \Leftrightarrow 0<x\leq10^r\)