Exercice 13

\(\begin{align*} \int \frac{2.sinx}{sin(2x)}dx \end{align*}\) 

Connaissances:

  • Formules trigonométriques \( sin2x = 2sinx.cosx\)
  • retenir la méthode et le résultat: \(\begin{align*} \int secx.dx = ln\lvert secx + tanx\rvert \end{align*}\)
  • changement de variable

\(\begin{align*} I & =\int \frac{2.sinx}{sin(2x)}dx \end{align*}\) 

Nous n'arriverons rien à faire si nous avons des fonctions trigonométriques en \(2x\) et d'autres en \(x\). Il faut donc commencer par de la trigonométrie pour trouver une expression avec un seul même paramêtre : \(x\).
\(\begin{align*} & I = \int \frac{\cancel{2} \cancel{sinx}}{\cancel{2}.\cancel{sinx}.cosx}dx \\
& = \int secx.dx \end{align*}\) 

  • soit on connait le résultat et on peut conclure
  • soit on retient la méthode. On procède de la façon suivante:
    • multiplier haut et bas par \(secx+tanx\)
    • reconnaitre une forme \(u'/u\)


\(\begin{align*} I & = \int \frac{secx(secx+tanx)}{secx+tanx}dx && \text{méthode à retenir, à connaitre} \\
& = \int \frac{sec²x+secx.tanx}{secx+tanx}dx \\ & \text{Posons: } 
 \begin{cases} u = secx +tanx \\ du = ((secx.tanx) + sec²x)dx \end{cases} \\   \\
I & = \int \frac{1}{u}du = ln u +C 
\end{align*}\)
\[\boxed{I=ln\lvert secx + tanx\rvert +C(\in \mathbb R)}\]