Exercice 2

\(\begin{align*} \int{\frac{cos(2x)}{sinx+cosx}dx} \end{align*}\)

Connaissances:

  • trigonométrie: \(cos(2x)= cos²x-sin²x\)
  • primitives simples en trigonométrie
  • identités remarquables: \(a²-b²=(a+b)(a-b)\)

 

Nous n'arriverons rien à faire si nous avons des fonctions trigonométriques en \(2x\) et des fonctions en \(x\). Il nous faut commencer par de la trigonométrie pour transformer l'expression avec un seul paramêtre: \(x\)

 \(\begin{align*} 
I & =\int{\frac{cos(2x)}{sinx+cosx}dx} && \text{on ne peut pas garder les éléments } x \text{ et } 2x \text{ ensembles} \\ 
& = \int \frac{cos²x-sin²x}{sinx+cosx}dx && \text{on utilise } cos2x=cos²x-sin²x \\
& = \int \frac{(cosx-sinx).\cancel{(cosx+sinx)}}{\cancel{sinx+cosx}}dx && \text{on factorise et simplifie }\\ 
& = \int (cosx-sinx)dx \\
\end{align*}\)
Le calcul est maintenant beaucoup plus simple.


\[\boxed{I=sinx+cosx+C(\in \mathbb{R})}\]