\(\begin{align*} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{1+sinx}dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Changement de variable
- Trigonométrie
- Trigonométrie notation anglosaxonne
Remarquons tout d'abord que l'intégrande est bien définie en \(0\) et \(\pi / 2\) et que l 'intégrale est bien définie sur \([0;\pi/2]\)
\(\begin{align*} I & = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{1+sinx}dx \\
& = \int_0^{\pi/2} \frac{1-sinx}{(1+sinx)(1-sinx)}dx \end{align*}\)
Attention : \((1-sinx)\) n'est pas définie en \(\pi/2\). En faisant cette opération, cela revient a multiplier par \(\frac{0}{0}\), ce qui n'est pas vraiment autorisé. Nous risquons de nous retrouver avec une forme indéterminée a la fin du calcul.
\(\begin{align*} I & = \int_0^{\pi/2} \frac{1-sinx}{(1-sin²x)}dx \\
& = \int_0^{\pi/2} \frac{1-sinx}{cos²x}dx \\0
& = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{cos²x}dx + \int_0^{\pi/2} \frac{-sinx.dx}{cos²x} \\
& = \bigg[tanx\bigg]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} \frac{-sinx.dx}{cos²x} \\
& = \bigg[tanx\bigg]_0^{\pi/2} + I_2 \end{align*}\)
Posons le changement de variable:
\(\begin{align*} & \begin{cases} u = cosx \Rightarrow du = -sinx.dx \\
x= 0 & \Rightarrow u=1 \\ x=\pi/2 & \Rightarrow u=0 \end{cases} \\
I_2 & = \int_{x=0}^{x=\pi/2} \frac{-sinx.dx}{cos²x} \\
& = \int_{u=1}^{x=0} \frac{du}{u²} \\
& = \int_{x=0}^{u=1} -\frac{du}{u²} \\
& = \bigg[\frac{1}{u}\bigg]_0^1= \bigg[\frac{1}{cosx}\bigg]_{\pi/2}^0 = \bigg[-\frac{1}{cosx}\bigg]_0^{\pi/2}\end{align*}\)
Nous sommes dans une forme indéterminée due à la manipulation avec le \((1-sinx)\) qui nous amène a faire un \(\frac{0}{0}\). Pourtant cette intégrale est bien définie. Essayons de lever l'indétermination avec d'autres calculs......... En effet chaque forme \(\bigg[tanx\bigg]_0^{\pi/2}\) et \(\bigg[\frac{1}{u}\bigg]_0^1\) sont indéterminées, mais la combinaison des 2 est elle toujours indéterminée ?
\(\begin{align*} I & = \bigg[tanx\bigg]_0^{\pi/2}= \bigg[1/u\bigg]_0^1+ \bigg[-\frac{1}{cosx}\bigg]_0^{\pi/2} \\
& = \bigg[tanx -\frac{1}{cosx}\bigg]_0^{\pi/2} = \bigg[\frac{sinx}{cosx} -\frac{1}{cosx}\bigg]_0^{\pi/2} \\
& = \bigg[\frac{sinx-1}{cosx}\bigg]_0^{\pi/2} = \bigg[\frac{(sinx-1)(sinx+1)}{cosx(sinx+1)}\bigg]_0^{\pi/2} \\
& = \bigg[\frac{sin²x-1}{cosx(sinx+1)}\bigg]_0^{\pi/2} = \bigg[\frac{-cos²x}{cosx(sinx+1)}\bigg]_0^{\pi/2} \\
& = \bigg[\frac{-cosx}{sinx+1}\bigg]_0^{\pi/2} \end{align*}\)
L'indétermination est levée .
\(\begin{align*} I & = \bigg[\frac{-cosx}{sinx+1}\bigg]_0^{\pi/2} = 0-(-1)=1 \end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I & = \bigg[\frac{-cosx}{sinx+1}\bigg]_0^{\pi/2} = 1 \end{align*}}\]