\(\begin{align*} \int \frac{\sqrt{x+4}}{x}dx\end{align*}\) |
Connaissances:
- Changement de variable
- Division polynômiale
- Décomposition en éléments simples
Posons le changement de variable: \(u = \sqrt{x+4} \Rightarrow x = u²-4 \Rightarrow dx = 2u.du\)
\(\begin{align*} I & = \int \frac{\sqrt{x+4}}{x}dx = \int \frac{u}{u²-4}2u.du \\
& = \int \frac{2u²}{u²-4}du\\ \end{align*}\)
Procédons à une division polynômiale:
\(\begin{align*} & 2u² & +0u & +0 & \lvert & \underline{u²-4 } \\
& 2u² & +0u & -8 & \lvert & 2 \\
& 0u² & +0u & +8 & \lvert \end{align*}\)
\(\begin{align*}2u² & = 2(u²-4)+8 \\
\frac{2u²}{u²-4} & = 2+\frac{8}{u²-4}\end{align*}\)
\(\begin{align*} I & = \int \frac{2u²}{u²-4}du = \int(2+\frac{8}{u²-4})du \\
& =2\int du+8 \int \frac{1}{u²-4}du \\
& =2\int du+8 \int \frac{1}{(u-2)(u+2)}du \\\end{align*}\)
Procédons à une décomposition en éléments simples:
\(\begin{align*} & \frac{1}{(u-2)(u+2)} = \frac{a}{u-2} + \frac{b}{u+2} \\ \\
& \begin{cases} \times(u-2) \text{ et }u=2 \Rightarrow & a = 1/4 \\ \times(u+2) \text{ et }u=- 2 \Rightarrow & b=-1/4 \end{cases} \\ \\
I & = 2\int du+8 \int \frac{1}{(u-2)(u+2)}du \\
& = 2\int du+8 \bigg[ \frac{1}{4} \int \frac{1}{u-2}du - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u+2}du \bigg] \\
& = 2\int du+ 2 \int \frac{1}{u-2}du - 2 \int \frac{1}{u+2}du \\
& = 2u+ 2 ln \lvert u-2 \rvert - 2 ln \lvert u+2 \rvert +C \\
& = 2u+ 2 ln \lvert \frac{u-2}{u+2} \rvert +C \\
& = 2\sqrt{x+4}+ 2 ln \lvert \frac{\sqrt{x+4}-2}{\sqrt{x+4}+2} \rvert +C \\
& = 2\sqrt{x+4}+ 2 ln \bigg( \frac{\sqrt{x+4}-2}{\sqrt{x+4}+2} \bigg) +C \end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I &= 2\sqrt{x+4}+ 2 ln \bigg( \frac{\sqrt{x+4}-2}{\sqrt{x+4}+2} \bigg) +C(\in \mathbb R)\end{align*}}\]