\(\begin{align*} \int \frac{arctan(x)}{x²}dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Intégration par parties
- Décomposition en éléments simples
- reconnaissance de la forme \(u'/u\)
- astuce calculatoire
Nous avons ici un produit de 2 fonctions bien connues:
\((arctanx)' = \frac{1}{x²+1}\) et \((-1/x)'=1/x²\)
Ce qui nous amène à une intégration par partie:
| \(D\) | \(I\) | ||
| \(+\) | \(arctan(x)\) | \(\frac{1}{x²}\) | |
| \(\searrow\) | |||
| \(-\) | \(\frac{1}{1+x²}\) | \(\rightarrow\) | \(-\frac{1}{x}\) |
\(\begin{align*} I & = -\frac{arctanx}{x} + \int \frac{1}{x(1+x²)}dx \end{align*}\)
On peut à partir de maintenant passer par 2 méthodes:
- une décomposition en éléments simples
- une astuce calculatoire pour éviter la DES
Décomposition en éléments simples:
\(\begin{align*} \frac{1}{x(1+x²)}= \frac{a}{x} + \frac{bx+\overbrace{c}^0}{1+x²} \end{align*}\)
\(\begin{align*} \begin{cases} x=1 \text{ et }x=-1 \Rightarrow & \begin{cases}+1/2= a+(b+c)/2 \\
-1/2=-a+(-b+c)/2 \end{cases} \Rightarrow c=0 \\ \\
x=2 \text{ et }x=3 \Rightarrow & \begin{cases}1/10= a/2+2b/5 \\
1/30=-a/3+3b/10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}1= 5a+4b \\
1=10a+9b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=-1\\
a = 1\end{cases} \end{cases} \end{align*}\)
\(\begin{align*} I & = -\frac{arctanx}{x} + \int (\frac{1}{x} -\frac{x}{1+x²})dx \\
& = -\frac{arctanx}{x} + \int \frac{1}{x}dx-\frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+x²}dx \\
& = -\frac{arctanx}{x} + ln \lvert x \rvert\ -\frac{1}{2}ln(1+x²) +C \\ \end{align*}\)
Méthode calculatoire pour éviter la DES:
\(\begin{align*} I & = -\frac{arctanx}{x} + \int \frac{1}{x(1+x²)}dx \\
& = -\frac{arctanx}{x} + \int \frac{1}{x.x²(\frac{1}{x²}+1)}dx \\
& = -\frac{arctanx}{x} + \int \frac{1}{x.x²(x^{-2}+1)}dx \\
& = -\frac{arctanx}{x} + \int \frac{x^-3}{(x^{-2}+1)}dx \\
& = -\frac{arctanx}{x} + \int \frac{x^{-3}}{(x^{-2}+1)}dx \\
& = -\frac{arctanx}{x} + \frac{1}{-2}\int \frac{-2x^{-3}}{(x^{-2}+1)}dx \\
& = -\frac{arctanx}{x} - \frac{1}{2} ln \lvert x^{-2}+1 \rvert +C \\
& = -\frac{arctanx}{x} - \frac{1}{2} ln ( x^{-2}+1) +C \end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I & = -\frac{arctanx}{x} + ln \lvert x \rvert\ -\frac{1}{2}ln(1+x²) +C(\in \mathbb R) \\
I & = -\frac{arctanx}{x} - \frac{1}{2} ln ( x^{-2}+1) +C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]