\(\begin{align*} \int \frac{sin(1/x)}{x^3}dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Repéré une forme dérivée
- Intégration par parties
On reconnait que la dérivée \((cos(1/x))'=+1/x²sin(1/x)\)
Alors:
\(\begin{align*}I & = \int \frac{sin(1/x)}{x^3}dx \\
& = \int \frac{sin(1/x)}{x²} \times \frac{1}{x}dx
\end{align*}\)
Procédons maintenant à une intégration par parties:
| \(D\) | \(I\) | ||
| \(+\) | \(1/x\) | \(\frac{sin(1/x)}{x²}\) | |
| \(\searrow\) | |||
| \(-\) | \(-1/x²\) | \(\rightarrow\) | \(cos(1/x)\) |
\(\begin{align*}I & = \frac{cos(1/x)}{x}+ \int \frac{cos(1/x)}{x²}dx \\
& = \frac{cos(1/x)}{x}-\frac{sin(1/x)}{x} +C
\end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I =\frac{cos(1/x)}{x}-\frac{sin(1/x)}{x} +C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]