\(\begin{align*} \int sin^{-1}(\sqrt{x}) dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Intégration par parties
- Changement de variable trigonométrique
- Trigonométrie
Posons le changement de variable \(u = \sqrt x \Rightarrow t=u² \Rightarrow dt = 2u.du\)
\(\begin{align*}I & = \int sin^{-1}(\sqrt x).dx = \int sin^{-1}u \times 2u.du \\ \end{align*}\)
Essayons une intégration par partie, en essayant de se débarraser de \(sin^{-1}\), donc en le dérivant:
| \(D\) | \(I\) | ||
| \(+\) | \(sin^{-1}u\) | \(2u\) | |
| \(\searrow\) | |||
| \(-\) | \(\frac{1}{\sqrt{1-u²}}\) | \(\rightarrow\) | \(u²\) |
\(\begin{align*}I & = \int sin^{-1}u \times 2u.du \\
& = u²sin^{-1}u-\int \frac{u²}{\sqrt{1-u²}}du = u²sin^{-1}u-I_1 \end{align*}\)
Pour calculer \(I_1\), posons le changement de variable: \(u=sint \Rightarrow du =cost.dt\)
\(\begin{align*}I_1 & = \int \frac{u²}{\sqrt{1-u²}}du = \int \frac{sin²t}{\sqrt{1-sin²t}}cost.dt \\
& = \int \frac{sin²t}{\sqrt{cos²t}}cost.dt = \int sin²t.dt \\
& = \frac{1}{2}\int (1-cos(2t)).dt +C = \frac{1}{2}(t-\frac{1}{2}sin(2t)) +C \\
& = \frac{1}{2}(t-\frac{1}{2}2.sint.cost) +C = \frac{1}{2}t-\frac{1}{2}sint.cost +C \\
\end{align*}\)
Un petit dessin de triangle rectrangle: t= angle, u = cote opposé , 1 = hypothénuse
\(u=sin t \Rightarrow sint = u/1 \Rightarrow \begin{cases} sint = u \\ cos t = \sqrt{1-u²}\end{cases}\)
\(\begin{align*}I_1 = \frac{1}{2}t-\frac{1}{2}sint.cost = \frac{1}{2}sin^{-1}u-\frac{1}{2}u.\sqrt{1-u²} \\
\end{align*}\)
On peut maintenant calculer \(I\):
\(\begin{align*}I & = u²sin^{-1}u-I_1 \\
& = u²sin^{-1}u - \frac{1}{2}sin^{-1}u + \frac{1}{2}u.\sqrt{1-u²} +C \\
& = xsin^{-1}\sqrt x - \frac{1}{2}sin^{-1}\sqrt x + \frac{1}{2}\sqrt x.\sqrt{1-x} +C \\ \end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I = xsin^{-1}\sqrt x - \frac{1}{2}sin^{-1}\sqrt x + \frac{1}{2}\sqrt x.\sqrt{1-x} +C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]