\(\begin{align*} \int 2x.ln(1+x)dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Intégration par parties
- Division de polynôme
- Décomposition en éléments simples
Procédons à une intégration par parties:
| \(D\) | \(I\) | ||
| \(+\) | \(ln(1+x)\) | \(2x\) | |
| \(\searrow\) | |||
| \(-\) | \(\frac{1}{1+x}\) | \(\rightarrow\) | \(x²\) |
\(\begin{align*} I & = \int2x.ln(1+x)dx \\
& = x²ln(1+x) -\int \frac{x²}{x+1} dx \\
& = x²ln(1+x) -\int \frac{x²}{x+1} dx \\ \end{align*}\)
Procédons à une division polynômiale pour le 2ème terme:
\(\begin{align*} & x² & +0x & +0 & \lvert \underline{x+1} \\
& x² & +x & +0 & \lvert x -1\\
& 0 & -x & +0 & \\
& 0 &-x & -1 \\
& 0 & 0 & +1 \end{align*}\)
Il vient alors:
\(\begin{align*} x² & = (x+1)(x-1)+1 \Rightarrow \frac{x²}{x+1}= x-1+\frac{1}{x+1} \\
\Rightarrow I & =x²ln(1+x)-\int (x-1 +\frac{1}{x+1})dx \\
& = x²ln(1+x)-\frac{1}{2} x²+x - ln \lvert x+1 \rvert +C \\
\end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I = x²ln(1+x)-\frac{1}{2} x²+x - ln \lvert x+1 \rvert +C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]
On pourrait retirer la valeur absolue dans le \(ln\) car si \(ln(1+x)\) est définie dans le domaine de définition de départ , il l'est aussi a la fin.