\(\begin{align*} \int \frac{1}{1+tanx}.dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Exercice 55
\(\begin{align*} I & = \int \frac{1}{1+tanx}.dx \\ \end{align*}\)
On sait que : \(\begin{align*} \int \frac{1-tanx}{1+tanx}.dx= ln \lvert cosx+sinx\rvert +C \\ \end{align*}\) (Exercice 55)
Faisons apparaitre ce \(\frac{1-tanx}{1+tanx}\) ou quelque chose y ressemblant:
\(\begin{align*} I & = \int \frac{1}{1+tanx}.dx \\
& = \int \frac{1}{2}\frac{\overbrace{1-tanx+1+tanx}^{2}}{1+tanx}dx \\
& = \frac{1}{2} \int\frac{1-tanx}{1+tanx}dx + \frac{1}{2} \int \frac{1+tanx}{1+tanx}dx \\
& = \frac{1}{2}ln \lvert cosx+sinx\rvert+ \frac{1}{2}x +C \end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I = \frac{1}{2}ln \lvert cosx+sinx\rvert+ \frac{1}{2}x+C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]